Вълново уравнение

Импулс, пътуващ през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.

Сферични вълни, произлизащи от точков източник.

Решение на двуизмерното вълново уравнение.

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни процеси в твърди среди и електромагнетизъм. Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика.

През 1746 г. д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.

Видове уравнения

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

$\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$,

където $\Delta$ е оператор на Лаплас, $u=u(x,t)$ е неизвестната функция, $t\in \mathbb {R}$ е времето, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ е пространствената променлива, а $v$ е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$.

Оператор на д'Аламбер

Разликата $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ се нарича оператор на д'Аламбер и се обозначава като $\square$ (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на д'Аламбер (д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

$\square u=0$

Нееднородно уравнение

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f$,

където $f=f(x,t)$ е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=v(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$.

Решение на вълновото уравнения

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна ($\mathbb {R} ^{1}$) – формула на д'Аламбер, за колебания на мембрана ($\mathbb {R} ^{2}$) – формула на Поасон.

Формула на д'Аламбер

Решение на едномерно вълново уравнение (тук $v=a$ е фазовата скорост):

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad$ (функцията $f(x,t)$ съответства на външна сила)

с начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

има вида

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$,

имащо следния вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }$

може да бъде представено и така

$u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)$

където

$f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha }$

$f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }$

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област

Метод на отражение

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,a]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

$u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]$

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

$\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

$\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$

се използват същите съображение и функцията $f(x,t)$ се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,l]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род

$u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]$

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

$X(x)T(t)$, където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията $u(x,t)=X(x)T(t)$ да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

$X(0)=0\qquad X(l)=0$

$a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)$

$T''(t)=-\lambda T(t)$

Решението на задачата на Щурм при $X(x)$ води до резултат:

$X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}$

и техните собствени стойности $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Съответстващите им функции $T$ изглеждат като

$T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).$

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.$

Разлагайки функцията $\varphi (x),\psi (x)$ в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите $\alpha _{n},\beta _{n}$, при които решението ще приеме такива начални условия.