Вълново уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни явления в твърди среди и анализ на процесите в електромагнетизма.

Импулс, пътуващ през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.
Сферични вълни, произлизащи от точков източник.
Решение на двуизмерното вълново уравнение.

Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика. През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.[1]

Видове уравнения[редактиране | редактиране на кода]

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

,

където е оператор на Лаплас, е неизвестната функция, е времето, е пространствената променлива, а е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

.

Оператор на Д'Аламбер[редактиране | редактиране на кода]

Разликата се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

Нееднородно уравнение[редактиране | редактиране на кода]

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

,

където е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

или .

Вълнови уравнения за електромагнитното поле[редактиране | редактиране на кода]

Електромагнитният потенциал на електромагнитното поле e 4-мерен вектор, който зависи от пространството и времето и съдържа електричния (скаларен) и магнитния (векторен) потенциали:

Потенциалите са свързани с напрегнатостта на електрическото и магнитното полета. Магнитният потенциал е дефиниран така, че

. (1)

Ако така определеният вектор на магнитното поле се замести във второто уравнение на Максуел, след известни математически преобразования се получава следният израз за напрегнатостта на електричното поле:

. (2)

Ако в първото уравнение на Максуел се замести с дясната част на уравнение (1), след някои преобразувания се получава уравнението на Даламбер за векторния потенциал:

. (3)

Следователно, за определяне на векторния потенциал е необходимо да се реши диференциалното уравнение (3), ако е известен токът на проводимостта .

Ако в третото уравнение на Максуел се замести с дясната част на уравнение (2), след аналогични преобразувания се получава уравнението на Даламбер за скаларния потенциал:

. (4)

Следователно, за определяне на скаларния потенциал е необходимо да се реши диференциалното уравнение (4), ако е известна обемната плътност на електричните заряди .

Ако векторният потенциал , скаларният потенциал и плътността на обемните заряди се изменят много бавно, може да се приеме, че почти не зависят от времето и производните им спрямо времето са нули. Тогава уравненията (3) и (4) стават Поасонови уравнения:

. (5)
. (6)

В областта, където липсват свободни електрически заряди и диференциалното уравнение (4) приема вида:

. (7)

Това диференциално уравнение е известно с името вълново уравнение за електричния потенциал.

Аналогично от равенство (3) при липса на ток на проводимост се получава вълновото уравнение за магнитния потенциал:

. (8)

Решения на вълновите уравнения[редактиране | редактиране на кода]

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна () – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана () – формула на Поасон.

Решенията на Поасоновите уравнения са както на диференциалните уравнения на Поасон в електростатиката:

Решението на вълновото уравнениe е функция на аргумента :

,

където е разстоянието от координатното начало до точката на наблюдение с координати и изразява модула на радиус-вектора между двете точки;
e скоростта на светлината във вакуум с диелектрична и магнитна проницаемости ε0 и μ0. Така скаларният потенциал в електродинамиката се получава като решение на Поасоново уравнение във вида:

Аналогично е решението на Поасоновото уравнение за векторния потенциал:

.

Следователно решенията на уравненията са същите, както в електростатиката, но със закъснене по време , неоходимо за разпространение на вълнàта на разстояние със скорост . Затова електродинамичните потенциали се наричат закъсняващи потенциали.

Формула на Д'Аламбер[редактиране | редактиране на кода]

Решение на едномерно вълново уравнение (тук е фазовата скорост):

(функцията съответства на външна сила)

с начални условия

има вида

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

,

имащо следния вид

може да бъде представено и така

където

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите и са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област[редактиране | редактиране на кода]

Метод на отражение[редактиране | редактиране на кода]

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

и начални условия

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

се използват същите съображение и функцията се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие[редактиране | редактиране на кода]

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка

с еднородни гранични условия от първи род

и начални условия

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

, където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

Решението на задачата на Щурм при води до резултат:

и техните собствени стойности

Съответстващите им функции изглеждат като

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

Разлагайки функцията в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите , при които решението ще приеме такива начални условия.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600 – 1800, с. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).