Вълново уравнение

Серия статии на тема
Класическа електродинамика
Електричество Магнетизъм Електромагнетизъм
Електростатика Закон на Кулон Теорема на Гаус Електрически дипол Електрически заряд Интензитет на електрическото поле Електрично поле Електричен потенциал Електрет
Магнитостатика Магнит Магнитно поле Дипол Магнитен поток Магнитна индукция Интензитет на магнитното поле Магнитна проницаемост Магнитна възприемчивост Магнитен момент Намагнитване Феромагнетизъм Диамагнетизъм Парамагнетизъм Суперпарамагнетизъм Антиферомагнетизъм Феримагнетизъм Магнитна левитация Закон на Био-Савар Закон на Ампер
Електродинамика Електромагнитно поле Електромагнитна индукция Електромагнитно излъчване Дипол Сила на Лоренц Уравнения на Максуел Електромагнитен 4-потенциал Електричен потенциал Магнитен векторен потенциал Вълново уравнение Закъсняващ потенциал Оператор на Д'Аламбер Електрически диполен момент Електромагнит Ефект на Майснер
Електрическа верига Електрически ток Електрическо напрежение Волт-амперна характеристика Електрическо съпротивление Индуктивност Електрически капацитет Електрическа проводимост Електрически импеданс Закон на Ом Закони на Кирхоф Закон на Джаул-Ленц
Известни учени Хенри Кавендиш Майкъл Фарадей Андре-Мари Ампер Густав Кирхоф Джеймс Кларк Максуел Хайнрих Херц Алберт Абрахам Майкелсън Робърт Миликан Георг Ом Луи Неел

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни явления в твърди среди и анализ на процесите в електромагнетизма.

Импулс, пътуващ през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.

Сферични вълни, произлизащи от точков източник.

Решение на двуизмерното вълново уравнение.

Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика. През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.

Видове уравнения

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

$\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$,

където $\Delta$ е оператор на Лаплас, $u=u(x,t)$ е неизвестната функция, $t\in \mathbb {R}$ е времето, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ е пространствената променлива, а $v$ е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$.

Оператор на Д'Аламбер

Разликата $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като $\square$ (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

$\square u=0$

Нееднородно уравнение

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f$,

където $f=f(x,t)$ е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=v(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$.

Вълнови уравнения за електромагнитното поле

Електромагнитният потенциал на електромагнитното поле e 4-мерен вектор, който зависи от пространството $r$ и времето $t$ и съдържа електричния (скаларен) ${\rm {C({\bf {r}},t)}}$ и магнитния (векторен) ${\rm {{\bf {A}}({\bf {r}},t)}}$ потенциали:

${\begin{aligned}{\rm {\bf {{F}({\bf {{r},t)}}}}}&=C({\bf {{r},t)+{\bf {{A}({\bf {{r},t).}}}}}}\end{aligned}}$

Потенциалите са свързани с напрегнатостта на електрическото ${\bf {E}}$ и магнитното ${\bf {H}}$ полета. Магнитният потенциал е дефиниран така, че

${\bf {{H}=\operatorname {rot} \mathbf {A} }}$. (1)

Ако така определеният вектор на магнитното поле ${\bf {H}}$ се замести във второто уравнение на Максуел, след известни математически преобразования се получава следният израз за напрегнатостта на електричното поле:

${\bf {{E}=-\mu {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\operatorname {grad} \mathbf {C} }}$. (2)

Ако в първото уравнение на Максуел се замести ${\bf {H}}$ с дясната част на уравнение (1), след някои преобразувания се получава уравнението на Даламбер за векторния потенциал:

${\nabla }^{2}\times \mathbf {A} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\mathbf {J_{np}} =0$. (3)

Следователно, за определяне на векторния потенциал $\mathbf {A}$ е необходимо да се реши диференциалното уравнение (3), ако е известен токът на проводимостта $\mathbf {J_{np}}$.

Ако в третото уравнение на Максуел се замести ${\bf {E}}$ с дясната част на уравнение (2), след аналогични преобразувания се получава уравнението на Даламбер за скаларния потенциал:

${\nabla }^{2}\cdot C-\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}+{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0$. (4)

Следователно, за определяне на скаларния потенциал $C$ е необходимо да се реши диференциалното уравнение (4), ако е известна обемната плътност на електричните заряди $\rho$.

Ако векторният потенциал $\mathbf {A}$, скаларният потенциал $C$ и плътността на обемните заряди $\rho$ се изменят много бавно, може да се приеме, че почти не зависят от времето и производните им спрямо времето са нули. Тогава уравненията (3) и (4) стават Поасонови уравнения:

${\nabla }^{2}\times \mathbf {A} +\mathbf {J_{np}} =0$. (5)

${\nabla }^{2}\cdot C+{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0$. (6)

В областта, където липсват свободни електрически заряди $\rho =0$ и диференциалното уравнение (4) приема вида:

${\nabla }^{2}\cdot C-\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=0$. (7)

Това диференциално уравнение е известно с името вълново уравнение за електричния потенциал.

Аналогично от равенство (3) при липса на ток на проводимост $\mathbf {J_{np}} =0$ се получава вълновото уравнение за магнитния потенциал:

${\nabla }^{2}\times \mathbf {A} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=0$. (8)

Решения на вълновите уравнения

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна ($\mathbb {R} ^{1}$) – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана ($\mathbb {R} ^{2}$) – формула на Поасон.

Решенията на Поасоновите уравнения са както на диференциалните уравнения на Поасон в електростатиката:

$C={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho dV}{r}}$

Решението на вълновото уравнениe е функция на аргумента $t-{\frac {r}{v}}$:

$C(t-{\frac {r}{v}})$,

където $r={\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}$ е разстоянието от координатното начало до точката на наблюдение с координати $(x,y,z)$ и изразява модула на радиус-вектора между двете точки;
$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ e скоростта на светлината във вакуум с диелектрична и магнитна проницаемости ε₀ и μ₀. Така скаларният потенциал в електродинамиката се получава като решение на Поасоново уравнение във вида:

$C={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho \left(t-{\frac {r}{v}}\right)dV}{r}}.$

Аналогично е решението на Поасоновото уравнение за векторния потенциал:

$\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\mathbf {J_{np}} \left(t-{\frac {r}{v}}\right)dV}{r}}$.

Следователно решенията на уравненията са същите, както в електростатиката, но със закъснене по време $\left(t-{\frac {r}{v}}\right)$, неоходимо за разпространение на вълнàта на разстояние $r$ със скорост $v$. Затова електродинамичните потенциали се наричат закъсняващи потенциали.

Формула на Д'Аламбер

Решение на едномерно вълново уравнение (тук $v=a$ е фазовата скорост):

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad$ (функцията $f(x,t)$ съответства на външна сила)

с начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

има вида

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$,

имащо следния вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }$

може да бъде представено и така

$u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)$

където

$f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha }$

$f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }$

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област

Метод на отражение

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,a]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

$u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]$

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

$\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

$\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$

се използват същите съображение и функцията $f(x,t)$ се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,l]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род

$u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]$

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

$X(x)T(t)$, където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията $u(x,t)=X(x)T(t)$ да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

$X(0)=0\qquad X(l)=0$

$a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)$

$T''(t)=-\lambda T(t)$

Решението на задачата на Щурм при $X(x)$ води до резултат:

$X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}$

и техните собствени стойности $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Съответстващите им функции $T$ изглеждат като

$T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).$

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.$

Разлагайки функцията $\varphi (x),\psi (x)$ в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите $\alpha _{n},\beta _{n}$, при които решението ще приеме такива начални условия.

Вижте също

• Частно диференциално уравнение
• Уравнение на Поасон
• Уравнение на Лаплас
• Уравнение на Хелмхолц
• Уравнения на Максуел
• Електричен потенциал
• Магнитен векторен потенциал
• Закъсняващ потенциал