Вълново уравнение
Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни процеси в твърди среди и електромагнетизъм. Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика.
През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.[1]
Видове уравнения[редактиране | редактиране на кода]
В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:
- ,
където е оператор на Лаплас, е неизвестната функция, е времето, е пространствената променлива, а е фазовата скорост.
В едномерния случай уравнението се записва във вида:
- .
Оператор на Д'Аламбер[редактиране | редактиране на кода]
Разликата се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:
Нееднородно уравнение[редактиране | редактиране на кода]
Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:
- ,
където е дадена функция на външно въздействие (сила).
Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).
Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:
- или .
Решение на вълновото уравнения[редактиране | редактиране на кода]
Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна () – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана () – формула на Поасон.
Формула на Д'Аламбер[редактиране | редактиране на кода]
Решение на едномерно вълново уравнение (тук е фазовата скорост):
- (функцията съответства на външна сила)
с начални условия
има вида
Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача
- ,
имащо следния вид
може да бъде представено и така
където
В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите и са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.
В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.
Методи за решение в ограничена едномерна област[редактиране | редактиране на кода]
Метод на отражение[редактиране | редактиране на кода]
Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка
с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)
и начални условия
В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:
При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:
се използват същите съображение и функцията се продължава по такъв начин.
Метод на Фурие[редактиране | редактиране на кода]
Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка
с еднородни гранични условия от първи род
и начални условия
Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида
- , където и двете функции зависят само от една променлива.
Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.
Лесно е да се докаже, че за да може функцията да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията
Решението на задачата на Щурм при води до резултат:
и техните собствени стойности
Съответстващите им функции изглеждат като
По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача
Разлагайки функцията в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите , при които решението ще приеме такива начални условия.
Източници[редактиране | редактиране на кода]
- ↑ Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600 – 1800, с. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).