Паралелепипед: Разлика между версии
Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
||
Ред 21: | Ред 21: | ||
Понеже <math>S_{ABCD}=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert</math> и <math>h=\Vert\mathrm{proj}_{\vec{a}\times\vec{b}}{\vec{c}}\Vert</math>, то формулата за обем на паралелепипед придобива следният вид: |
Понеже <math>S_{ABCD}=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert</math> и <math>h=\Vert\mathrm{proj}_{\vec{a}\times\vec{b}}{\vec{c}}\Vert</math>, то формулата за обем на паралелепипед придобива следният вид: |
||
<math>\begin{align}V=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert \cdot\Vert\mathrm{proj}_{\vec{a}\times\vec{b}}{\vec{c}}\Vert & =\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert\cdot \left\Vert\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{{\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert}^2}(\vec{a}\times\vec{b})\right\Vert \\ &=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert\cdot\dfrac{ |
<math>\begin{align}V=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert \cdot\Vert\mathrm{proj}_{\vec{a}\times\vec{b}}{\vec{c}}\Vert & =\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert\cdot \left\Vert\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{{\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert}^2}(\vec{a}\times\vec{b})\right\Vert \\ &=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert\cdot\dfrac{|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|}{\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert} \\ &=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|\end{align}</math> |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 02:32, 6 януари 2021
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
Паралелепипед (от гръцки: παράλλος – паралелен; επιπεδον – плоскост) е геометрично тяло с шест стени и дванадесет ръба, които са два по два успоредни, и осем върха. Той е частен случай на четиристенна призма с основа успоредник. Най-често се разглежда вариантът, при който всички стени сключват прав ъгъл с неуспоредните на тях – правоъгълен паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед, чийто ръбове са еднакво дълги, се нарича куб. Всички стени на произволен паралелепипед са успоредници, на правоъгълен паралелепипед – правоъгълници, а на куб – квадрати.
Първата известна употреба на наименованието е в Евклидовите „Елементи“.
Обем
Обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на дължината, ширината и височината му. При куба те са равни и обемът му е равен на трета степен от дължината на страната. Общия случай може чрез разместване да бъде приведен към правоъгълен паралелепипед и обемът на произволен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата по височината му.
Възможно е обемът да бъде изчислен с методите на векторното смятане: ако един от върховете бъде приет за начало на декартова координатна система и трите ръба, излизащи от върха, бъдат представени като вектори , и , то обемът е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на векторите .
- Доказателство:
Понеже и , то формулата за обем на паралелепипед придобива следният вид:
Свойства
Някои геометрични свойства на паралелепипеда са:
- паралелепипедът е централно-симетричен спрямо средата на телесния му диагонал (следствие от централната симетрия на стените му);
- всяка отсечка с краища върху паралелепипед и минаваща през средата на телесния му диагонал се разполовява от тази среда;
- в частност всички телесни диагонали се пресичат и разполовяват в една точка;
- успоредните помежду си ръбове на паралелепипеда са равни по дължина;
- успоредните стени са еднакви успоредници и съответно имат еднакви обиколка и площ;
- квадрата на дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му размерности (следствие от Питагоровата теорема).