Паралелепипед

Правоъгълен паралелепипед

Паралелепипед (от гръцки: παράλλος - паралелен; επιπεδον - плоскост) е геометрично тяло с шест стени и дванадесет ръба, които са два по два успоредни, и осем върха. Той е частен случай на четиристенна призма с основа успоредник. Най-често се разглежда вариантът, при който всички стени сключват прав ъгъл с неуспоредните на тях - правоъгълен паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед, чийто ръбове са еднакво дълги, се нарича куб. Всички стени на произволен паралелепипед са успоредници, на правоъгълен паралелепипед - правоъгълници, а на куб - квадрати.

Първата известна употреба на наименованието е в Евклидовите „Елементи“.

Обем

Обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на дължината, ширината и височината му. При куба те са равни и обемът му е равен на трета степен от дължината на страната. Общия случай може чрез разместване да бъде приведен към правоъгълен паралелепипед и обемът на произволен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата по височината му.

$V=S_{ABCD}\cdot h$$V=S_{ABCD}\cdot h$

Възможно е обемът да бъде изчислен с методите на векторното смятане: ако един от върховете бъде приет за начало на декартова координатна система и трите ръба, излизащи от върха бъдат представени като вектори a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) и c = (c₁, c₂, c₃), то обемът е равен на смесеното произведение на векторите a · (b × c). Числената стойност е равна на модула на детерминантата:

$V={\big |}\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|{\big |}$$V={\big |}\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|{\big |}$

Свойства

Някои геометрични свойства на паралелепипеда са:

• паралелепипедът е централно-симетричен спрямо средата на телесния му диагонал (следствие от централната симетрия на стените му);
  • всяка отсечка с краища върху паралелепипед и минаваща през средата на телесния му диагонал се разполовява от тази среда;
  • в частност всички телесни диагонали се пресичат и разполовяват в една точка;
• успоредните помежду си ръбове на паралелепипеда са равни по дължина;
• успоредните стени са еднакви успоредници и съответно имат еднакви обиколка и площ;
• квадрата на дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му размерности (следствие от Питагоровата теорема).