Закон на Стефан – Болцман

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Графика на функция на общата отделена енергия от абсолютно черно тяло , пропорционална на неговата термодинамична температура . В синьо е общата енергия, според Виновото приближение,

Законът на Стефан – Болцман описва мощността, излъчена от абсолютно черно тяло от гледна точка на неговата температура. По-точно, законът на Стефан – Болцман гласи, че общата енергия, излъчена от единица площ на абсолютно черно тяло във всичките дължини на вълната за единица време, , е право пропорционална на четвъртата степен на термодинамичната температура T на черното тяло:

Константата на пропорционалност σ, наречена константа на Стефан – Болцман, се извежда чрез други познати естествени константи. Стойността на константа е:

където k е константата на Болцман, h е константата на Планк, а c е скоростта на светлината във вакуум. Следователно, при 100 K енергийният поток е 5,67 W/m2, а при 1000 K е 56 700 W/m2. Енергетичната яркост (ват на квадратен метър на стерадиан) се извежда чрез

Тяло, което не абсорбира цялото попадащо лъчение (понякога наричано „сиво“ тяло), излъчва по-малко обща енергия, отколкото абсолютно черно тяло и се характеризира с емисивност, :

Излъчването има измерения на поток на енергията (енергия за единица време на единица площ) и единиците в SI за измерване са джаул за секунда на квадратен метър или еквивалентното ват на квадратен метър. SI единицата за абсолютна температура T е келвин [K]. е емисивността на „сивото“ тяло. Ако то е абсолютно черно тяло, то . В по-общия и релативистичен случай емисивността зависи от дължината на вълната, .

Общата мощност, излъчена от даден обект, се намира по формулата:

където A е площта на тялото. Частиците съразмерни с дължината на вълната,[1] метаматериали[2] и други наноструктури не са обект на ограниченията на оптиката на лъчите и могат да бъдат проектирани по такъв начин, че да надминават закона на Стефан – Болцман.

История[редактиране | редактиране на кода]

Законът е изведен от Йозеф Стефан през 1879 г. на базата на експериментални измервания, направени от Джон Тиндал. Изведен е и от Лудвиг Болцман през 1884 г. на базата на теоретични съображения, използвайки термодинамика. Болцман взема предвид определен идеален топлинен двигател със светлина като работно вещество, вместо газ. Законът е много точен единствено за абсолютно черни тела и работи като добро приближение за повечето „сиви“ тела. Стефан публикува закона в статията Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Относно връзката между топлинното излъчване и температурата) във Виенската академия на науките.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Температура на Слънцето[редактиране | редактиране на кода]

Чрез този закон Стефан успява да определи температурата на повърхността на Слънцето. Благодарение на данни от швейцарския физик Шарл Соре, Стефан научава, че енергийният поток от Слънцето е 29 пъти по-голям от енергийния поток на определен нагрят метал (тънка пластина). Кръгла пластина е поставена на такова разстояние от измерващото устройство, че се вижда под същия ъгъл като Слънцето. Соре преценява температурата на пластината да е приблизително от 1900 °C до 2000 °C. Стефан предполага, че 1/3 от енергийният поток на Слънцето се абсорбира от атмосферата на Земята, затова взима за правилния слънчев енергиен поток стойност, която е 3/2 пъти по-голяма от стойността на Соре, или по-точно 29 × 3/2 = 43,5.

Прецизни измервания на атмосферната абсорбция са направени едва през 1888 г. и 1904 г. Температурата, която получава Стефан е средна стойност на предните, 1950 °C и абсолютната термодинамична 2200 K. Тъй като 2,574 = 43,5, от закона следва, че температурата на Слънцето е 2,57 пъти по-голяма от температурата на пластината, така че Стефан получава стойност от 5430 °C или 5700 K (съвременната стойност е 5778 K[3]).

Температура на звездите[редактиране | редактиране на кода]

Температурата на звезди, различни от Слънцето, може да бъде апроксимирана, използвайки подобни начини, като излъчената енергия се счита за излъчване от абсолютно черно тяло.[4] Така:

където L е светимостта, σ е константата на Стефан – Болцман, R е звездният радиус, а T е ефективната температура. Същата формула може да бъде използвана, за да се изчисли приблизителния радиус на звезда от главна последователност по отношение на Слънцето:

където R е слънчевият радиус, L е слънчевата светимост и така нататък.

Чрез закона на Стефан – Болцман астрономите могат лесно да правят предположения за радиусите на звезди. Законът, също така, се среща в термодинамиката на черните дупки в така нареченото излъчване на Хокинг.

Ефективна температура на Земята[редактиране | редактиране на кода]

По подобен начин може да се изчисли ефективната температура на Земята T като се приравни приетата енергия от Слънцето и енергията, излъчена от Земята, под приближение на абсолютно черно тяло. Светимостта на Слънцето, L, се извежда от:

На Земята тази енергия преминава през сфера с радиус a0, разстоянието между Земята и Слънцето, а облъчеността (получена мощност на единица площ) се извежда от:

Земята има радиус R и следователно има напречно сечение . Лъчистият поток (т.е. слънчевата мощност), абсорбиран от Земята се извежда от:

Считайки, че обмяната е в стабилно състояние, излъченият поток от Земята трябва да е равен на на абсорбирания поток, следователно:

T тогава може да бъде намерена:

където T е температурата на Слънцето, R е радиусът на Слънцето, а a0 е разстоянието между Земята и Слънцето. Това дава ефективна температура от 6 °C на повърхността на Земята, считайки, че тя идеално абсорбира цялото лъчение, попадащо върху нея и няма атмосфера.

Земята има албедо от 0,3, което означава, че 30% от слънчевите лъчи, попадащи върху Земята, се разсейват обратно в космоса, без да се абсорбират. Ефектът на албедото върху температурата може да бъде приближен, като се счита, че абсорбираната енергия се умножава по 0,7, а планетата излъчва като абсолютно черно тяло. Това приближение намалява температурата с коефициент 0,771/4, което дава 255 K или 18 °C.[5][6]

Интересен въпрос е каква би била температурата на повърхността на Земята, ако тя беше абсолютно черно тяло и считайки, че тя достига равновесие с падащата слънчевата светлина. Това зависи от ъгъла на падане на слънчевите лъчи и от това през колко въздух са минали те. Когато Слънцето е в зенит и повърхността е хоризонтална, облъчването може да достигне 1120 W/m2.[7] Тогава законът на Стефан – Болцман дава температура от

или 102 °C. Над атмосферата резултатът е дори по-висок: 394 K.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Stefan–Boltzmann law“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.