Многостен

Многостен, или още полиедър, е всяка затворена повърхнина, съставена от краен брой равнинни многоъгълници, наречени стени. Пресечните линии на всеки две съседни стени образуват ръбовете на многостена. Точките, в които три или повече стени (или ръбове) се срещат, се наричат върхове на многостена.

Две са условията, на които един геометричен обект трябва да отговаря, за да бъде многостен:

1. всяка от страните на многоъгълник или няма обща точка с друг многоъгълник освен връх, или е страна на още само един многоъгълник,
2. дадените многоъгълници не могат да се разделят на две групи така, че никой многоъгълник от едната група не може да няма обща точка с никой от многоъгълниците от другата група (т.е. многостенът се състои само от една част).

Видове многостени

Изпъкнали и вдлъбнати

Многостените биват изпъкнали (ако всичките им точки лежат в едно и също полупространство, определено от равнината на която и да е стена) или вдлъбнати (в противен случай). Свойство на изпъкналите многостени е, че всичките им стени представляват изпъкнали многоъгълници.

Правилни и полуправилни

Известни са пет правилни многостена, наречени платонови тела, и тринадесет полуправилни, наречени архимедови тела.

Платонови тела

Тетраедър

Куб

Октаедър

Додекаедър

Икосаедър

Съществуват безброй много призми и антипризми, които са изпъкнали полуправилни многостени. Призмите имат за основи два еднакви правилни n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, а околната им повърхнина е съставена от n на брой квадрата (т.е. височината на призмата е равна на дължината на страната на основата. Антипризмите също имат за основи два еднакви правилни n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, но едната основа е завъртяна спрямо другата под ъгъл 180°/n така, че околната повърхнина на антипризмата се състои от 2n равностранни триъгълника.

Ако не е наложено изискването правилните многостени да са изпъкнали, се получават още четири тела, известни като многостени на Кеплер-Поансо.

Многостени на Кеплер-Поансо

Голям икосаедър

Голям додекаедър

Голям звездовиден додекаедър

Малък звездовиден додекаедър

Ойлерова характеристика

Леонард Ойлер поставя основата за класификацията на многостените, използвана и при теоретизирането на платоновите тела. Ойлеровата характеристика се бележи с гръцката буква $\chi$ и формулира връзката между броя върхове (B), ръбове (P) и страни (C) на всеки многостен:

$\chi =B-P+C$

За изпъкналите многостени ойлеровата характеристика е 2, така се получава т.нар. формула на Ойлер за многостени:

$2=B-P+C$

Ойлерова характеристика на изпъкнали многостени

Многостен	Общ вид	Върхове В	Ръбове Р	Страни С	Ойлерова характеристика: В - Р + С
Тетраедър		4	6	4	2
Хексаедър (куб)		8	12	6	2
Октаедър		6	12	8	2
Додекаедър		20	30	12	2
Икосаедър		12	30	20	2

Многостени по броя на стените

• Едностен – 2
• Двустен – ∞
• Тристен – 2
• Четиристен – 2
• Петостен – 3

Външни препратки

• Polyhedron, Mathworld Wolfram
• Polyedergarten