Многоъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Някои различни видове полигони.
Прост шестоъгълник
Правилен шестоъгълник

Многоъгълникът е геометрична фигура, която обикновено се дефинира като затворена начупена линия без самопресичания. Нарича се още и „полигон“. Може да се дефинира и като затворена част от равнината, ограничена от начупена линия без самопресичания. Върховете на начупената линия се наричат върхове на многоъгълника, а отсечките от нея – страни на многоъгълника.

Два върха на многоъгълника се наричат съседни, ако те са краища на една от страните му. Отсечките, съединяващи несъседни върхове на многоъгълника, се наричат диагонали.

Геометричното понятие полигон има различно значение в зависимост от сферата, в която се използва. Математиците са заинтересовани предимно от полигони от тип затворена многоъгълна верига и прости полигони, които нямат пресичащи се страни. В повечето случаи за тях думите полигон и изпъкнал многоъгълник са синоними.

Границите на полигона могат и да се самопресичат, създавайки звезден многоъгълник. Геометрично два края, като се срещнат, трябва да образуват ъгъл, който не е прав (180 °). В противен случай, сегментните линии може да се считат за части от една права. Математически обаче, понякога може да се допуснат такива ъгли. Тези и други обобщения на полигоните са описани по-надолу.

Класификация[редактиране | редактиране на кода]

Няколко различни типа многоъгълници

Брой на страните[редактиране | редактиране на кода]

Многоъгълниците се класифицират главно по броя на страните им. В зависимост от броя на страните им биват триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и т.н. Многоъгълник с n върха се нарича n-ъгълник. Виж таблицата по-надолу.

Изпъкналост и неизпъкналост[редактиране | редактиране на кода]

Многоъгълниците могат да се характеризират с тяхната изпъкналост или типа неизпъкналост:

  • Изпъкнал – многоъгълникът, чиято вътрешност е изпъкнало множество. При него всички вътрешни ъгли са под ъгъл по-малък от 180 о. Също така всяка отсечка между два върха остава изцяло вътре или на границата на полигона. Той представлява сечение на няколко полуравнини.
  • Неизпъкнал – при него отсечката между два върха преминава извън границата на полигона.
  • Прост – многоъгълник с плоска форма, състояща се от прави, непресичащи се отсечки или страни, които са свързани по двойки, за да образуват затворен път. Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът.
  • Вдлъбнат – неизпъкнал и прост многоъгълник. Има най-малко един вътрешен ъгъл по-голям от 180 о.
  • Звездовиден – цялата вътрешност е видима от една точка, без да се пресичат ъглите. Полигонът трябва да бъде прост, може да е изпъкнал или вдлъбнат.
  • Кръстосан – при него някои от краищата му се пресичат.
  • Звезден – при него има свързване на един връх на един прост, обикновен многоъгълник към друг, несъседен връх и продължаване на процеса, докато първоначалният връх е достигнат отново.

Равенство и симетрия[редактиране | редактиране на кода]

  • Равноъгълен – многоъгълник, при който всички ъгли са равни.
  • Цикличен – многоъгълник, при който всички ъгли лежат на една окръжност.
  • Изогонен – има симетрични върхове, като полигонът е цикличен и с равни ъгли.
  • Равностранен – всичките му страни са с еднаква дължина, но ъглите не трябва да са еднакви и не трябва да е изпъкнал полигон.
  • Тангенциален – изпъкнал многоъгълник с вписана окръжност, която е допирателна до всички страни на многоъгълника.
  • Дъговиден – многоъгълник, който е равностранен и тангенциален, но не всички равностранни полигони са дъговидни. Страните лежат в рамките на една и съща окръжност.
  • Правилен – многоъгълник, който е изогонен и дъговиден. Също така може да е цикличен и равностранен, или равностранен и равноъгълен. Неизпъкналият правилен многоъгълник се нарича правилен звезден полигон.

Смесени[редактиране | редактиране на кода]

  • Праволинеен – страните на полигона се срещат в прав ъгъл, като всеки един от вътрешните ъгли образува 90 о или 270 о.
  • Монотонен по отношение на дадена линия L – всяка линия, перпендикулярна на L пресича полигона не повече от два пъти.

Свойства и формули[редактиране | редактиране на кода]

  • Сборът от ъглите на всеки n-ъгълник е равен на 180° (n-2).
  • Около всеки правилен изпъкнал многоъгълник може да се опише окръжност и във всеки такъв многоъгълник може да се впише окръжност.
  • Правилните изпъкнали n-ъгълници са подобни, а ако страните им са равни, те са еднакви.
  • Броят на диагоналите на всеки многоъгълник е равен на n(n − 3)/2, където n е броят на неговите страни.

Ъгли[редактиране | редактиране на кода]

Всеки полигон има толкова върхове, колкото са страните му. Всеки връх има по няколко ъгли. Двата най-важни са:

  • Вътрешен ъгъл – вътрешен ъгъл на изпъкнал многоъгълник при даден връх се нарича ъгълът, образуван от страните, минаващи през този връх, от страната на многоъгълника. Този ъгъл може да е по-голям от 180 градуса, ако многоъгълникът не е изпъкнал. Сумата на ъглите на прост n-ъгълник е (n – 2)π радиани или (n – 2)x 180 градуса. Това е така, защото се счита, че всеки n-ъгълник (имащ n-брой страни) е направен от (n – 2) триъгълници, всеки от които има сума на ъглите от π радиани или 180 градуса. Размерът на всеки ъгъл на изпъкнал правилен n-ъгълник е радиани или градуса. Вътрешните ъгли на правилния звезден полигон са проучвани за първи път от Луи Поансо в същия документът, в който е описал Многостените на Кеплер-Поансо: за правилен -ъгълник (p-ъгълник с плътност q), всеки вътрешен ъгъл е радиани или градуса.[1]
  • Външен ъгъл – външният ъгъл е ъгъл, допълващ вътрешния до 180 о. Ако сборът на всички вътрешни ъгли в полигона е 360 о , то и сборът на всички външни ъгли също ще е 360 о . А следователно, ако направим една пълна обиколка около полигона, сборът на външните ъгли също ще е 360 о. Такъв е случаят при четириъгълника. В общия случай сумата на външните ъгли на полигон е число кратно на 360 о.

Площ и медицентър[редактиране | редактиране на кода]

Прости многоъгълници[редактиране | редактиране на кода]

Координати на неизпъкнал-петоъгълник

За несамостоятелно пресичащи се многоъгълници с n-върхове xi, yi ( i = 1 до n) площта, декартовата координатна система и медицентърът се получават по следния начин:[2]

където е разстоянието на квадрат между и [3] и

Първият и последният връх на полигона е един и същ, т.е., xn, yn = x0, y0. Върховете трябва да са подредени положително или отрицателно (по посока на часовниковата стрелка или обратно); ако са подредени отрицателно, стойността получена от формулата за площ ще бъде отрицателна, но вярна абсолютна стойност, но когато се изчислява и , стойността на (която в случая е отрицателна) трябва да бъде използвана. Това най-често се нарича Shoelace formula.[4]

Площта на прост многоъгълник може да бъде изчислена, ако дължините на страните и на външните ъгли θ1, θ2, ..., θn са известни от:

Фомулата е описана от Лопшит през 1963.[5]

Ако полигона може да обрисува на еднакво разстояние решетка, така че всичките му върхове да са решетъчни точки, теоремата на Пик дава една проста формула за намиране площта на полигона, въз основа на броя на вътрешните и гранични точки на мрежата: първото число + 1/2 от следващото – 1.

Всеки многоъгълник с обиколка и площ притежава изопериметричното неравенство .[6]

Ако са дадени два прости многоъгълника с еднаква площ, тогава първият може да бъде разделен на многоъгълни парчета, които могат да се съберат, за да се оформи вторият многоъгълник. Това е теоремата на Bolyai–Gerwien.

Площта на правилен многоъгълник се определя по отношение на радиуса на своята вписана окръжност и неговия периметър от

Този радиус също се нарича апотема и често се представя като .

Площта на правилен n-ъгълник със страна вписана в единична окръжност е

Площта на правилен n-ъгълник по отношение на радиуса на неговата описана окръжност и неговият периметър се получава чрез

Площта на правилен n-ъгълник със страна и вътрешен ъгъл , вписан в единична окръжност, може да се изрази с тригонометрична функция като

Дължините на страните на полигона не определят площта му в общия случай.[7] Но ако полигонът е цикличен, могат да определят площта.

От всички n-ъгълници с дадени страни, с най-голяма площ е цикличният. От всички n-ъгълници с даден периметър, с най-голяма площ е правилният.[8]

Сложни многоъгълници[редактиране | редактиране на кода]

Площта на сложните(наричат се още самопресичащи се или кръстосани) многоъгълници може да се определи по два различни начина, всяка от които дава различен отговор:

  • Използвайки горните методите за прости многоъгълници, можем да умножим площта на определени части в рамките на полигона по коефициент, който наричаме плътност. Например централно изпъкнал петоъгълник в центъра на пентаграма има плътност 2. Двете триъгълни части на кръстосаните четириъгълници имат обратно записана плътност и събирайки техните площи може да даде обща площ равна на нула за цялата фигура.
  • Като се имат предвид приложените региони като точкови групи, ние можем да намерим площта на приложената серия от точки. Това съответства на площта на равнината обхваната от многоъгълника, или в площта на един или повече прости многоъгълници, имащи същия контур като на самостоятелно пресичащ се. В случай на кръстосан четириъгълник, се разглеждат като два прости триъгълника.

Наименуване[редактиране | редактиране на кода]

Думата “полигон” идва от латинската дума polygōnum, от гръцката дума πολύγωνον (polygōnon/polugōnon), означаващи многоъгълен. Всеки полигон е наименуван (а понякога и класифициран) в зависимост от броя на страните му, комбинирайки числена представка произлизаща от гръцки с наставката -gon, напр.  pentagon, dodecagon. Изключение правят triangle, quadrilateral и nonagon (триъгълник, четириъгълник и деветоъгълник). На български съответно се образува от числена представка с наставката -ъгълник, например петоъгълник, дванадесетоъгълник и т.н.

Освен decagons (десетоъгълници) и dodecagons (дванадесетоъгълници), математиците обикновено използват числена нотация, напр. 17-gon, 257-gon.[9]

Изключение има за полигони със страни, които по-лесно могат да бъдат изразени словестно. Някои видове полигони имат собствени имена, напр. правилен звезден петоъгълник (regular star pentagon), познат още като пентаграм (pentagram).

Имена на полигоните и техните особености
Име Ъгли/страни Особености
Едностен 1 Не е общопризнат като полигон,[10] въпреки че някои дисциплини като Теория на графите понякога използват този термин.[11]
Двустен 2 Не е общопризнат като полигон в Евклидовата равнина, въпреки че може да съществува като сферичен полигон.[12]
Триъгълник 3 Най-простият полигон, който може да съществува в Евклидовата равнина. Могат да запълнят една равнина идеално, като мозайка.
Четириъгълник 4 Най-простият многоъгълник, който може да се самопресече; най - простият многоъгълник, който може да бъде вдлъбнат; най - простият многоъгълник, който може да бъде нецикличен. Могат да запълнят една равнина идеално, като мозайка. Сумата от ъглите му е равна на 2π(360о).
Петоъгълник 5 Най-простият полигон, който може да бъде правилна звезда. Нарича се още пентаграм. Вътрешният му ъгъл е 108°. Сборът им е 540°. Външният ъгъл е 72°.
Шестоъгълник 6 Всеки от вътрешните ъгли на правилния шестоъгълник е равен на 120°, а сборът им е 720°. Могат да запълнят една равнина идеално, като мозайка.
Седмоъгълник 7 Вътрешният ъгъл е приблизително 128,571°, а външният - приблизително 51,429°. Сборът на вътрешните ъгли е 900°.
Осмоъгълник 8 Всеки вътрешен ъгъл е 135°, а външните са 45°. Сборът на вътрешните е 1080°.
Деветоъгълник 9 Вътрешният ъгъл е 140°, а външният - 40°.
Десетоъгълник 10 Вътрешният ъгъл е равен на 144°, а външният - 36°.
Дванадесетоъгълник 12 Вътрешният ъгъл е 150°, а външният - 30°.
Петнадесетоъгълник 15 Вътрешният ъгъл е 156°, а външният - 24°.
Осемнадесетоъгълник 18 Вътрешният ъгъл е 160°, а външният - 20°.
Двадесетоъгълник 20 Вътрешният ъгъл е 162°, а външният е 18°.
Двадесетичетириъгълник 24 Вътрешният ъгъл е 165°, а външния - 15°.
Тридесетоъгълник 30 Вътрешният ъгъл е 168°, а външния - 12°.
Четиридесетоъгълник 40 Вътрешният ъгъл е 171°, а външния - 9°.
Петдесетоъгълник 50 Вътрешният ъгъл е 172 4⁄5°, а външния - 7 1⁄5°.
Шестдесетоъгълник 60 Вътрешният ъгъл е 174°, а външния - 6°.
Седемдесетоъгълник 70 Вътрешният ъгъл е  174 6⁄7°, а външния - 5 1⁄7°.
Осемдесетоъгълник 80 Вътрешният ъгъл е 175 1⁄2°, а външния - 4 1⁄2°.
Деветдесетоъгълник 90 Вътрешният ъгъл е 176°, а външния - 4°.
Стоъгълник(Хектагон) 100 Вътрешният ъгъл е 176 2⁄5°, а външния -  3 3⁄5°.
Хилядоъгълник 1000 Рене Декарт го използва като пример в своята Шеста медитация, за да демонстрира разликата между чисто умствената дейност и въображението.
Десетхилядоъгълник 10,000 Използва се като пример в някои философски дискусии, например в „Размишления за първата философия“ на Декарт.
Безкрайноъгълник С безкрайни на брой страни и ъгли.

История[редактиране | редактиране на кода]

Полигоните са били известни още от древността. Правите полигони са били познати на древните гърци с пентаграма, неизпъкналия правилен полигон (звезден полигон) появили се през 7 век пр.Хр. в кратер намерен в Caere и сега в музея на Капитолия.[13][14]

Първото известно систематично изучаване на неизпъкнал многоъгълник е направено от Томас Брадуардин през 14 век.[15]

През 1952 г., Джефри Колин Шепърд обобщава идеята за полигоните по отношение на сложната равнина, където всяко реално измерение е придружено от едно въображаемо, за да се създават сложни полигони.[16]

Многоъгълници в компютърната графика[редактиране | редактиране на кода]

Историческо изображения на полигони(1699)

Многоъгълник в компютърната графика е двуизмерна форма, която е моделирана и се съхранява в база-данни. Многоъгълникът може да е оцветен, сенчест и текстуриран, и позициите му в базата се определят от координатите на неговите върхове.

Конвенциите за именуване са различни от тези в математиката:

  • Простия многоъгълник не пресича себе си.
  • Вдлъбнатият многоъгълник е прост, но съдържа поне един вътрешен ъгъл по-голям от 180°.
  • Сложният многоъгълник също не пресича себе си.

Всяка повърхност е моделирана като мозайка, която се нарича "отворът на многоъгълника"[1]. Ако "отворът" на квадрат има + 1 точки(върхове) за всяка страна, тогава има на квадрат квадрати в "отворът", или

Пътят на великаните в Северна Ирландия

2 на квадрат триъгълници, докато има два триъгълника в един квадрат. Има върхове за всеки триъгълник.

Системата за изобразяване извиква структурата от многоъгълници необходими за визуализиране от базата-данни.Това се прехвърля към активната памет и накрая към дисплея. По време на този процес, система за изображения прави полигони в правилната перспектива, готови за предаване на обработените данни в системата за показване. Въпреки че многоъгълниците са двуизмерни те се визуализират правилно от компютърната система в триизмерното пространство.

Полигони в природата[редактиране | редактиране на кода]

Полигоните се появяват в скални образувания, най-често като плоските страни на кристали, където ъглите между страните зависят от вида на минерала, от който е направен кристалът.

Правилни шестоъгълници могат да възникнат, когато охлаждането на лава образува площи от плътно допрени една до друга колони от базалт, които могат да се видят в Пътят на великаните в Северна Ирландия, или базалтовите колони в Калифорния(Devil's Postpile National Monument).

В биологията, повърхността на пчелните пити е масив от шестоъгълници, а стените и основите на всяка клетка също са полигони.

Вижте още[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Craig, John (1849). A new universal etymological technological, and pronouncing dictionary of the English language. Oxford University. p. 404.
  2. Bourke, Paul (July 1988). "Calculating The Area And Centroid Of A Polygon" (PDF). Retrieved 6 Feb 2013.
  3. B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)
  4. Bart Braden (1986). "The Surveyor's Area Formula" (PDF). The College Mathematics Journal 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282.
  5. A.M. Lopshits (1963). Computation of areas of oriented figures. translators: J Massalski and C Mills, Jr. D C Heath and Company: Boston, MA.
  6. Dergiades,Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130.
  7. Robbins, "Polygons inscribed in a circle," American Mathematical Monthly 102, June–July 1995.
  8. Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  9. Mathworld
  10. Grunbaum, B.; "Are your polyhedra the same as my polyhedra", Discrete and computational geometry: the Goodman-Pollack Festschrift, Ed. Aronov et al., Springer (2003), page 464.
  11. Hass, Joel; Morgan, Frank (1996), "Geodesic nets on the 2-sphere", Proceedings of the American Mathematical Society 124 (12): 3843–3850, doi:10.1090/S0002-9939-96-03492-2
  12. Coxeter, H.S.M.; Regular polytopes, Dover Edition (1973), Page 4.
  13. Heath, Sir Thomas Little (1981), A History of Greek Mathematics, Volume 1, Courier Dover Publications, p. 162. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the spelling "Aristonophus" for the vase painter's name.
  14. Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle, Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Two pentagrams are visible near the center of the image.
  15. Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114
  16. Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", Proc. London Math. Soc. Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Polygon“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.