Правилен многоъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се пресича никъде), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни и ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът.

За всеки брой на страните n правилните n-ъгълници са еднакви.

Примери:

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник са (или също ) градуса.

Също вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник са (n−2)π/n радиана (или (n−2)/(2π) оборота).

Всички върхове на правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки, т.е. всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Правилният n-ъгълник може да се построи с линия и пергел тогава и само тогава, когато нечетните прости множители, на които се разлага n, са различни прости числа на Ферма. Вижте построим многоъгълник.

За n > 2 броят на диагоналите e , т. е. 0, 2, 5, 9, ... Те разделят многоъгълника на 1, 4, 11, 24, ... части.

Лице[редактиране | редактиране на кода]

Апотема на шестоъгълник

Лицето на правилен n-ъгълник е половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна перпендикулярно на тази страна):

или

,

където b е дължината на страната, k на апотемата.

За b = 1 имаме

със следните стойности:

2   0 0,000
3    0,433
4   1 1,000
5    1,720
6    2,598
7    3,634
8    4,828
9    6,182
10    7,694
11    9,366
12    11,196
13    13,186
14    15,335
15    17,642
16    20,109
17    22,735
18    25,521
19    28,465
20    31,569
100    795,513
1000    79577,210
10000    7957746,893

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 — малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

Симетрия[редактиране | редактиране на кода]

Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група Dn (от ред 2n): D2, D3, D4,... Тя се състои от ротациите в Cn (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина – през средата на срещулежащата страна.

Дължина на страната, периметър и лице[редактиране | редактиране на кода]

Разглеждаме правилни многоъгълници със страна а, периметър Р и лице S. С r е означен радиусът на описаната около многоъгълника окръжност. Изложени са формули, изразяващи a, P и S чрез r, които са особено удобни при решаване на геометрични задачи.[1]

За равностранен триъгълник имаме

За квадрат:

За правилен петоъгълник:

За правилен шестоъгълник:

За правилен седмоъгълник:

За правилен осмоъгълник:

За правилен деветоъгълник:

За правилен десетоъгълник:

За правилен дванадесетоъгълник:

За правилен n-ъгълник:

История[редактиране | редактиране на кода]

Построяването на правилен многоъгълник с n страни остава проблемно за математиците до XIX в. Тази задача е идентична с разделянето на окръжността на n равни части.

Евклид разглежда построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за n = 3, 4, 5, 6, 15. Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: Ако вече е построен правилен (2m -1)-ъгълник, то правилен 2m-ъгърник (при m > 1) се построява чрез разделяне на окръжността на две равни части, от двете полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т. н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с r и s страни и ако тези числа са взаимно прости, то може да се прострои и правилен многоъгълник с r.s страни. Следователно древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с страни, където m е цяло неотрицателно число, p1, p2 са числата 3 и 5,k1, k2 лриемат стойности 0 или 1.

През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. К.Ф. Гаус доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е просто число на Ферма (като 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде построен само с линийка и пергел. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на

където k0 е цяло неотрицателно число, k1, k2,...,ks приемат стойности 0 или 1, а pj са прости числа на Ферма. През 1836 г. Пиер-Лоран Ванцел доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо.

Успешният край на тези изследвания е постигнат със следните построения: на правилния 17-ъгълник – от Йохан Ерхингер през 1825 г., на правилния 257-ъгълник – от Фридрих Юлиус Ришело през 1832 г. и на правилния 65 537-ъгълник – от Густав Хермес през 1894 г. [2]

Оттогава задачата се счита за напълно решена.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. <Polygon - статия в Уикипедия на немски език [14 февруари 2008]
  2. Правильный многоугольник – статия в Уикипедия на руски език [25 ноември 2007]

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]