Конично сечение

Конични сечения. А) парабола. В) елипса и окръжност. С) хипербола

Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний Пергски, който систематично да изследвал свойствата им.

Геометрично представяне

Три са видовете конични сечения:

• елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
• парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
• хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.

Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „прилагане“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή). Въведени са от Аполоний във връзка с дефинираната от него процедура „прилагане“ за построяване на правоъгълник с дадена основа, равнолицев с друг даден правоъгълник.

В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:

• права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
• двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
• точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.

Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки

Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права. Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където $\textstyle {M'\in d,MM'\perp d}$) и по-специално тяхното отношение: ${\frac {\mid MF\mid }{\mid MM'\mid }}=e$, наречено ексцентрицитет.

Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата d — директриса.

Нека е въведена декартова координатна система $O\xi \eta$, такава че $O\eta$ съвпада с правата d, оста $O\xi$ минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение $\xi =0$, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство ${\frac {\mid MF\mid }{\mid MM'\mid }}=e$ следва, че $\displaystyle {(\xi -p)^{2}+\eta ^{2}=e^{2}\xi ^{2}}$, което след преобразувание приема вида:

$\displaystyle {(1-e^{2})\xi ^{2}+\eta ^{2}-2p\xi +p^{2}=0}$, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни $\xi ,\eta$.

Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред $\xi ^{2}$ се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.

1. При $e=1$, уравнението приема вида $\displaystyle {\eta ^{2}-2p\xi +p^{2}=0}$, което след полагането $\displaystyle {\xi =x+{\frac {p}{2}},\eta =y}$ а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: $\displaystyle {y^{2}=2px}$
   Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.
2. Нека $e\neq 1$. С полагането на $\displaystyle {\xi =x+\alpha ,\eta =y}$ се прави транслация на координатната система, където $\alpha$ е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че $\displaystyle {2\alpha (1-e^{2})-2p=0}$, оттук $\alpha ={\frac {p}{1-e^{2}}}$ и $(1-e^{2})x^{2}+y^{2}={\frac {p^{2}e^{2}}{1-e^{2}}}$. Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
   1. При $e<1,1-e^{2}>0$ и като разделим на ${\frac {p^{2}e^{2}}{1-e^{2}}}$, при полагане на $a={\frac {pe}{1-e^{2}}},b={\frac {pe}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ получаваме, че ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, което се нарича канонично уравнение на елипсата.
      Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).
   2. При $e>1,{\frac {p^{2}e^{2}}{e^{2}-1}}>0$ и като разделим на ${\frac {p^{2}e^{2}}{e^{2}-1}}$, при полагане на $a={\frac {pe}{e^{2}-1}},b={\frac {pe}{\sqrt {e^{2}-1}}}$ получаваме, че ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
      Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).

И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:

• при $e<1$ коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
• при $e=1$ коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
• при $e>1$ коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.

Свойства

• Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.

История

Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.

Учителят на Александър Македонски, Аристотел, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. По времето на Аристотел и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.

Около 225 г. Аполоний Пергски построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.

През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.

Методи и инструменти за чертане

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.

Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 век пр.н.е. Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.

Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.

Приложения

Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.

Външни препратки

• ((en)) Интерактивни визуализации на Java на методи за построение на конични сечения (елипса, парабола и хипербола с линийка и пергел, елипсографи на Архимед и ван Схоотен и др.
• Daina Taimina. Historical Mechanisms for Drawing Curves (PDF) // Cornell University. Посетен на 20/05/2007. (на английски)