Механика на Лагранж

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Класическа механика

PendulumWithMovableSupport.svg
Импулс · Сила · Енергия · Работа · Мощност · Скорост · Ускорение · Инерционен момент · Момент на сила · Момент на импулса

Механика на Лагранж е преформулировка на класическата механика, въведена от Жозеф Луи Лагранж през 1788 г.

Уравнение на Лагранж[редактиране | edit source]

Уравненията, описващи движението в механиката на Лагранж са известни още като уравнения на Лагранж-Ойлер.

Да вземем частица с маса m и позиция описвана с векторна координата r. Силата, действаща върху тази частица може да се определи като градиент на скаларния потенциал на енергийната функция V(r, t):


    \mathbf{F} = - \nabla V.

Тъй като силата е независима от третата или по-висока степен производна на r, Втория закон на Нютон се свежда до 3 диференциални уравнения от втори род. Следователно движението е функция на 6 независими променливи или степени на свобода. Очевиден е набора от координати в декартова координатна система { rj, r′j | j = 1, 2, 3} и техните производни: в точка {x,y,z} скоростите:

{v_x, v_y, v_z}

Най-общо можем да вземем обобщени координати q_j и техните времеви производни \dot{q_j}. Позицията на вектора r се описва чрез следното трансформационно равенство:

    \mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i , q_j , q_k, t)

За пример вземаме махало с дължина l, избираме за координата ъгъла на отклонение спрямо вертикалата θ и получаваме следното трансформационно уравнение:

    \mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta).

Разглеждаме произволно движение на махалото. Работата, извършена от приложената силаF е δW = F · δr. Ползвайки закона на Нютон получаваме:

    \begin{matrix} \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & m\mathbf{r}'' \cdot \delta \mathbf{r}. \end{matrix}

След като работата е скаларна величина, можем да пренапишем равенството чрез използване на общите координати и техните призводни - скоростите. От лявата страна имаме:


    \begin{matrix} \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\ \end{matrix}

От дясната страна е по-трудно, но след преобразуване получаваме:


    m \mathbf{r''} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

където T = 1/2 m r′ 2 е кинетичната енергия на частицата. Уравнението за извършената работа е:


    \sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] \delta q_i = 0.

Това уравнение би трябвало да е вярно за коя да е координатна ос: δqi, следователно получаваме:


    \left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

за всяка координатаδqi. Можем още да опростим това уравнение забелязвайки че V е функция само на r и t, и r е функция само на координатите и на t. Следователно V е независимо от скоростите.

    {d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0.

Замествайки това в предишното уравнение и заменяйки L = T - V, получаваме уравнението на Лагранж:


    {\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}.
L = T - V - оператор на Лагранж

Имаме по едно уравнение на Лагранж за всяка от координатните оси qi. Когато qi = ri - тоест при декартови координати уравнението на Лагранж се свежда до Втория закон на Нютон.

Същото уравнение може да бъде изведено и за система с N частици. Ще получим 6N общи координати, свързани с 3N трансформационни уравнения. Във всяко едно от тези 3N на брой уравнения на Лагранж T е общата кинетична енергия, V е потенциалната енергия.

В практиката често е по лесно да се реши уравнението на Лагранж отколкото уравненията на Нютон. Това е така, защото можем така да подберем координатите на системата- че да имаме симетрия и да намалим броя на решаваните уравнения.

Практически пример: http://mashinostroene.net/index.php?option=com_content&view=article&id=12:-10-&catid=6:2009-05-21-18-39-35&Itemid=11

Принцип на Хамилтон[редактиране | edit source]

Действието или работата S се дефинират като времеви интеграл върху оператора на Лагранж:

    S = \int L\,dt.

Нека q0 и q1 да са координатите на началната и на крайната точка съответно с време t0 и t1. Ползвайки изчислителни методите от висшата математика се показва че Уравнението на Лагранж е равносилно на Принципа на Хамилтон:

Системата преминава от състояние q0 в q1 за времето между t0 и t1, като в точките q0 и q1 нямаме действие - тоест системата застава в покой. Под стационарно положение или покой се разбира че скоростта или първата производна на координатите в точки q0 в q1 е нулева.


    \delta S = 0. \,\!

Можем да се абстрахираме от наличието на приложената сила и да да разглеждаме това движение като от преместване моментно от една стационарна точка в друга и обратно. Принципът на хамилтон се нарича още принцип на най-малкото възможно действие.

Доразвитие на механиката на Лагранж[редактиране | edit source]

Операторът на Хамилтон се дефинира като трансформация на Лежандр върху оператора на Лагранж. Хамилтоновият оператор е основа за друга разновидност на класическата механика- известна като Механика на Хамилтон. Тази механика е особено ценна при квантовата механика.

През 1948 г. Файнман изобрети интеграл по крива, доразвиващ принципа за действие в посоката на най-малкото съпротивление. При тази формулировка частиците пътуват едновременно по всички възможни траектории между началната и крайната точка и вероятността за намиране на една частица в крайната точка се получава като резултат от сумиране на всички възможни траектории, водещи дотам. В класическия си вариант той се свежда до принципите на Хамилтоновата Механика.