Конично сечение: Разлика между версии
м →Геометрично представяне: -, replaced: [точка] → [точка (математика)|] редактирано с AWB |
LordBumbury (беседа | приноси) м интервал преди запетая |
||
Ред 16: | Ред 16: | ||
== Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки == |
== Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки == |
||
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.<ref>„Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998</ref> Нека ''F'' е фиксирана точка в равнината, а ''d'' - права, неминаваща през ''F''. Нека ''М'' е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където <math> \textstyle{M' \in d |
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.<ref>„Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998</ref> Нека ''F'' е фиксирана точка в равнината, а ''d'' - права, неминаваща през ''F''. Нека ''М'' е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където <math> \textstyle{M' \in d, MM' \perp d}</math>) и по-специално тяхното отношение: <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math>, наречено ''[[ексцентрицитет]]''. |
||
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е [[константа|постоянно число]], се нарича ''конично сечение'', точка F — ''фокус'', а правата ''d'' — ''директриса''. |
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е [[константа|постоянно число]], се нарича ''конично сечение'', точка F — ''фокус'', а правата ''d'' — ''директриса''. |
||
Нека е въведена [[декартова координатна система]] <math>O \xi \eta </math>, такава че <math>O \eta</math> съвпада с правата ''d'', оста <math>O \xi </math> минава през ''F''. В така подбраната координатна система правата d има уравнение <math>\xi = 0</math>, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math> следва, че <math>\displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}</math>, което след преобразувание приема вида: |
Нека е въведена [[декартова координатна система]] <math>O \xi \eta </math>, такава че <math>O \eta</math> съвпада с правата ''d'', оста <math>O \xi </math> минава през ''F''. В така подбраната координатна система правата d има уравнение <math>\xi = 0</math>, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math> следва, че <math>\displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}</math>, което след преобразувание приема вида: |
||
: <math>\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни <math>\xi |
: <math>\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни <math>\xi, \eta</math>. |
||
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред <math>\xi^2</math> се [[нула|нулира]] или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1. |
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред <math>\xi^2</math> се [[нула|нулира]] или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1. |
||
# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}</math> а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: <math> \displaystyle{y^2 = 2px}</math> <br /> Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.<ref name="kamenarov">''Справочник по висша математика'', Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994</ref> |
# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}</math> а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: <math> \displaystyle{y^2 = 2px}</math> <br /> Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.<ref name="kamenarov">''Справочник по висша математика'', Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994</ref> |
||
# Нека <math> e \ne 1</math>. С полагането на <math> \displaystyle{\xi = x + \alpha |
# Нека <math> e \ne 1</math>. С полагането на <math> \displaystyle{\xi = x + \alpha, \eta = y}</math> се прави [[транслация]] на координатната система, където <math>\alpha </math> е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че <math>\displaystyle{2 \alpha(1 - e^2) - 2p = 0}</math>, оттук <math>\alpha = \frac{p}{1 - e^2}</math> и <math>(1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>. Оттук насетне има два случая, в зависимост от ''е''. |
||
## При <math>e < 1 |
## При <math>e < 1, 1 - e^2 > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{1 - e^2}, b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на елипсата''. <br /> Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).<ref name="kamenarov" /> |
||
## При <math>e > 1 |
## При <math>e > 1, \frac{p^2e^2}{e^2 - 1} > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{e^2 - 1}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{e^2 - 1}, b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 - 1}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на хиперболата''. <br /> Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). <ref name="kamenarov" /> |
||
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като: |
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като: |
Версия от 00:04, 14 декември 2016
Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний Пергски, който систематично да изследвал свойствата им.
Геометрично представяне
Три са видовете конични сечения:
- елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
- парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
- хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.
Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „прилагане“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή). Въведени са от Аполоний във връзка с дефинираната от него процедура „прилагане“ за построяване на правоъгълник с дадена основа, равнолицев с друг даден правоъгълник.[1]
В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:
- права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
- двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
- точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.
Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.[2] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където ) и по-специално тяхното отношение: , наречено ексцентрицитет.
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата d — директриса.
Нека е въведена декартова координатна система , такава че съвпада с правата d, оста минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение , а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство следва, че , което след преобразувание приема вида:
- , което е уравнение от втора степен на двете неизвестни .
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
- При , уравнението приема вида , което след полагането а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата:
Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.[3] - Нека . С полагането на се прави транслация на координатната система, където е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че , оттук и . Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
- При и като разделим на , при полагане на получаваме, че , което се нарича канонично уравнение на елипсата.
Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).[3] - При и като разделим на , при полагане на получаваме, че , което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). [3]
- При и като разделим на , при полагане на получаваме, че , което се нарича канонично уравнение на елипсата.
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:
- при коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
- при коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
- при коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.
Свойства
- Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.
История
Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.
Учителят на Александър Македонски, Аристотел, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. По времето на Аристотел и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.
Около 225 г. Аполоний Пергски построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.[4]
През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.[5]
Методи и инструменти за чертане
Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 в.пр.н.е.[4] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.
Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.
Приложения
Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.[6]
Източници
- ↑ "Лексикон Математика", изд. Абагар, Холдинг, София, 1995
- ↑ „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998
- ↑ а б в Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994
- ↑ а б "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
- ↑ ((en)) "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
- ↑ Информация за коничните сечения // PlanetMath.org. Посетен на 17/05/2007. (на английски)
Външни препратки
- ((en)) Интерактивни визуализации на Java на методи за построение на конични сечения (елипса, парабола и хипербола с линийка и пергел, елипсографи на Архимед и ван Схоотен и др.
- Daina Taimina. Historical Mechanisms for Drawing Curves (PDF) // Cornell University. Посетен на 20/05/2007. (на английски)