Разлика между версии на „Конично сечение“

Направо към навигацията Направо към търсенето
м
интервал преди запетая
м (→‎Геометрично представяне: -, replaced: [точка] → [точка (математика)|] редактирано с AWB)
м (интервал преди запетая)
 
== Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки ==
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.<ref>„Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998</ref> Нека ''F'' е фиксирана точка в равнината, а ''d'' - права, неминаваща през ''F''. Нека ''М'' е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където <math> \textstyle{M' \in d , MM' \perp d}</math>) и по-специално тяхното отношение: <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math>, наречено ''[[ексцентрицитет]]''.
 
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е [[константа|постоянно число]], се нарича ''конично сечение'', точка F — ''фокус'', а правата ''d'' — ''директриса''.
 
Нека е въведена [[декартова координатна система]] <math>O \xi \eta </math>, такава че <math>O \eta</math> съвпада с правата ''d'', оста <math>O \xi </math> минава през ''F''. В така подбраната координатна система правата d има уравнение <math>\xi = 0</math>, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math> следва, че <math>\displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}</math>, което след преобразувание приема вида:
: <math>\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни <math>\xi , \eta</math>.
 
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред <math>\xi^2</math> се [[нула|нулира]] или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}</math> а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: <math> \displaystyle{y^2 = 2px}</math> <br /> Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.<ref name="kamenarov">''Справочник по висша математика'', Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994</ref>
# Нека <math> e \ne 1</math>. С полагането на <math> \displaystyle{\xi = x + \alpha , \eta = y}</math> се прави [[транслация]] на координатната система, където <math>\alpha </math> е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че <math>\displaystyle{2 \alpha(1 - e^2) - 2p = 0}</math>, оттук <math>\alpha = \frac{p}{1 - e^2}</math> и <math>(1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>. Оттук насетне има два случая, в зависимост от ''е''.
## При <math>e < 1 , 1 - e^2 > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{1 - e^2} , b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на елипсата''. <br /> Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).<ref name="kamenarov" />
## При <math>e > 1 , \frac{p^2e^2}{e^2 - 1} > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{e^2 - 1}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{e^2 - 1} , b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 - 1}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на хиперболата''. <br /> Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). <ref name="kamenarov" />
 
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:
43 088

редакции

Навигация