Средногеометрична стойност
Средногеометрична стойност или средногеометрично (CG) в математиката и статистиката е вид средна стойност на множество от числа, която се получава чрез умножаването им и намиране на -ти корен от произведението им. Тя е частен случай на средностепенната стойност при степенен показател и частен случай на средното квази-аритметично (средно на Колмогоров) при при .
Средногеометричното на две числа се нарича още среднопропорционално,[1] тъй като средната геометрична стойност на две числа и има следното свойство: , т.е. средногеометричното е спрямо първото число същото, което е второто число спрямо средногеометричното.
Формули
[редактиране | редактиране на кода]Съгласно определението средногеометричното на множеството числа се дава с формулата
или еквивалентно като средно аритметично в логаритмичен мащаб:
Най-често числата са ограничени до неотрицателни, за да се избегнат усложнения, свързани с това, че отрицателните числа нямат реални корени, и често те са ограничени до положителни, за да се даде възможност за използване на логаритми.
Така например, ако са дадени числата 4 и 9, първо се намира тяхното произведение и след това се взима квадратен корен от него: .
Като друг пример, средното геометрично на трите числа 1, 4 и 1/32 е кубичният корен от тяхното произведение (1/8), който е 1/2, тоест .
Доказателство
[редактиране | редактиране на кода]Може да се пренапише дефиницията за средностепенно , използвайки експоненциалната функция
- ,
където се приема, че и сумата от без загуба на обобщеност.
В граничния преход s → 0 можем да се приложи правилото на Лопитал към аргумента на експоненциалната функция. Приема се, че s ∈ R и s ≠ 0.[4] Разграничавайки числителя и знаменателя по отношение на s, имаме
Поради непрекъснатостта на експоненциалната функция можем да се замести обратно в горната връзка и се получава[5]
- ,
което е желаният резултат.
Свойства
[редактиране | редактиране на кода]- Като всяка друга средна стойност, средната геометрична стойност се намира между минимума и максимума на всички числа:
- Средната геометрична стойност се намира между среднохармоничната и средноаритметичната стойности:
- или
- .
Това са трите класически средни на Питагор. За всички положителни набори от данни, съдържащи поне една двойка неравни стойности, средната хармонична винаги е най-малката от трите средни, средната аритметична винаги е най-голямата, а средната геометрична винаги е между тях. Това свойство се използва при дефиниране на междинни средни стойности, които са модификации на основните.
- Средногеометричното на две числа е средното аритметично-хармонично на тези числа, тоест то е равно на границата на две последователности:
- Средногеометричното на две числа е равно на средногеометричното на техните средноаритметично и средно хармонично:[6]
Модификации
[редактиране | редактиране на кода]Междинни средни стойности
[редактиране | редактиране на кода]Средната геометрична стойност на набор от числа е по-малка от средната аритметична стойност на набора от числа, освен ако всички членове на набора от числа не са равни, в който случай средните геометрични и аритметични са равни. Това позволява дефинирането на средното аритметично-геометрично, пресечна точка на двете, която винаги е между тях.
Средното геометрично е също така средното аритметично-хармонично в смисъл, че ако за две последователности () и () са дефинирани средната аритметична и средната хармонична стойност на предишните стойности на двете последователности
и
- ,
тогава и ще се сближат до средното геометрично на и . Последователностите се събират до обща граница и средното геометрично се запазва:
- .
Замяната на средната аритметична и хармонична с чифт средностепенни на противоположни, крайни показатели дава същия резултат.
Средногеометрично претеглено
[редактиране | редактиране на кода]Среднопретеглената геометрична стойност на набор от реални числа с реални тегла се определя като
В случай, че всички тегла са равни, средното геометрично претеглено е равно на средното геометрично.
Приложение
[редактиране | редактиране на кода]Средната геометрична стойност често се използва за набор от числа, чиито стойности са предназначени да бъдат умножени заедно или са експоненциални по природа, като например набор от числа за растеж: стойности на човешкото население или лихвени проценти на финансова инвестиция във времето. Прилага се и за тест за производителност в сравнителния анализ (например при компютърни архитектури), където е особено полезна като изчислително средство за коефициенти на ускоряване: тъй като средната стойност от 0,5x (наполовина по-бързо) и 2x (два пъти по-бързо) ще бъде 1 (т.е. без цялостно ускоряване).
Пропорционално нарастване
[редактиране | редактиране на кода]Средногеометричното е по-уместно за прилагане от средноаритметичното за описване на пропорционално нарастване. В бизнеса CG на степента на нарастване е известно като „съставна годишна мярка за растеж“ (compound annual growth rate, CAGR). Средногеометричното значение на нарастването за определени периоди дава еквивалентна константа на нарастване, която дава същата крайна сума.
Пример: Ако едно ябълково дърво дава 100 ябълки първата година и по 180, 210 и 300 през следващите години, нарастванията за всяка година са съответно 80 %, 16,6666% и 42,8571%. Използвайки средноаритметичното значение на нарастванията, се получава стойност на средно нарастване 46,5079 % (80 % + 16,6666 % + 42,8571 % разделено на 3). Обаче, ако се започва със 100 ябълки и се приложи нарастване от 46,5079 % за всяка година, в резултат ще се получи 314 ябълки, а не 300.
За изчисляване на средногеометричното значение се представят процентните нараствания като числа: нарастването от 80 % като коефициент е 1,8 пъти, 16,6666 % е 1,166666, а 42,8571 % е 1,428571 пъти. Така средногеометричното на 1,8, 1,166666 и 1,428571 е , което е равно на 44,2249 % годишен растеж. Ако се започне със 100 ябълки и се приложи средно нарастване от 44,2249 % всяка година, ще се получи верният резултат от 300 ябълки.
За да се определи средният темп на растеж, не е необходимо да се взема произведението на измерените темпове на растеж на всяка стъпка. Нека количеството е дадено като последователност , където е броят на стъпките от началното до крайното състояние. Скоростта на растеж между последователните измервания и е . Средната геометрична стойност на тези темпове на растеж тогава е просто:
Геометрия
[редактиране | редактиране на кода]Средната геометрична стойност може да бъде разбрана от гледна точка на геометрията. Средногеометричното на две числа и е дължината на едната страна на квадрат, чиято площ е равна на площта на правоъгълник със страни с дължини и : и . По същия начин, средногеометричното на три числа , и е дължината на един ръб на куб, чийто обем е същият като този на паралелепипед със страни, чиито дължини са равни на трите дадени числа: и .
Теорема за средната геометрична стойност: Височината на правоъгълен триъгълник, спусната към хипотенузата, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата, а всеки катет е средната пропорционална стойност между хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата.
Това дава геометричен начин за конструиране на средното геометрично на два сегмента (отсечки): трябва да се построи окръжност върху сумата от тези две отсечки като диаметър, а след това височината, издигната от точката на тяхната връзка до пресичането с окръжността ще даде желаната стойност.
В една елипса малката полуос е средната геометрична стойност на максималното и минималното разстояние на елипсата от фокуса; това е и средното геометрично на голямата полуос и фокалната полу-хорда. Голямата полуос на елипса е средното геометрично на разстоянието от центъра до всеки фокус и разстоянието от центъра до която и да е директриса.
Ако в две диаметрално противоположни точки на кръг с радиус r r се приложи натиск, той се деформира в елипса с голяма полуос a и малка полуос b.
Тъй като площта на кръга и елипсата остава същата, имаме:
Радиусът на окръжността е средното геометрично на голямата и малката полуоси на елипсата, образувана от деформирането на окръжността.
Разстоянието до хоризонта на сферата (допирателна) е средното геометрично между разстоянието до най-близката точка на сферата и разстоянието до най-отдалечената точка на сферата.
Средната геометрична стойност се използва както при приближението на квадратура на кръга от С. А. Paмaнюян,[7] така и при конструирането на седемнадесетоъгълника със „средни пропорционални“.[8]
Вижте също
[редактиране | редактиране на кода]Външни препратки
[редактиране | редактиране на кода]- Средно геометрично в mathworld
Източници
[редактиране | редактиране на кода]- ↑ «Среднее пропорциональное». — статия от Большая советская энциклопедия.
- ↑ Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu, and Stacey Luong On Compass and Straightedge Constructions: Means // UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, 2013. Посетен на 14 June 2018.
- ↑ Euclid, Book VI, Proposition 13 // David E. Joyce, Clark University, 2013. Посетен на 19 July 2019.
- ↑ Handbook of Means and Their Inequalities (Mathematics and Its Applications).
- ↑ P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177
- ↑ Роу С. – Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. Архивная копия от 13 августа 2020 на Wayback Machine
- ↑ Ramanujan, S. Modular equations and approximations to π // Quarterly Journal of Mathematics 45. 1914. с. 350–372.
- ↑ T. P. Stowell – Extract from Leybourn's Math. Repository, 1818 in The Analyst via Google Books