Уравнение на Шрьодингер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Квантова механика

  

Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:

или съкратено:

където е (евентуално) зависещия от времето оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член (където е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част , която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:

или

Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.

Извод[редактиране | редактиране на кода]

Кратък евристичен извод[редактиране | редактиране на кода]

Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.

Допускания[редактиране | редактиране на кода]

  1. Пълната енергия E на една частица е
    Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.
  2. Хипотезата на Планк за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:
    където честотата на фотона е свързана с константата на Планк h,
    и е ъгловата честота на вълната.
  3. Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоцирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:
    където е дължината на вълната, а — нейното вълново число.
    Изразявайки p и k като вектори, имаме

Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.

Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна[редактиране | редактиране на кода]

Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор

и да си да даде сметка, че доколкото

,

то

По подобен начин от

и

се стига до

така че, отново за плоска вълна, той получава:

След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V:

Виж още[редактиране | редактиране на кода]