Той е роден във военно семейство в Магдебург, Източна Германия (ГДР) в съветската окупационна зона. През 1990-те години баща му работи в завод за радио оборудване в Чернигов, а майка му като инженер в дизайнерски институт.
Учи във футболното училище в град Чернигов от 1971 г. След известно време, той се записва в отбора на Десна. Там, прекарва 2 сезона. След успешния сезон 1982 г., когато Десна става втори в украинската зона, преминава в Динамо Киев. Кузнецов дебютира в Одеса, където киевците печелят с 2:1.
В отбора на СССР играе от 1986 г. Участник на Световното първенство през 1986 и 1990 г. През 1988 г. става носител на Сребърните медали от Евро 1988, участник на Европейското първенство през 1992 г.
Той прави дебюта си в Шотландия успешно – в първи мач от шампионата е избран за най-добрия играч на отбора. Но вече в следващия мач в 20-ата минута, след като пада, Кузнецов разкъсва кръстни връзки на коляното. В резултат на това, сезонът за него приключва.
На следващия сезон играе рядко. През сезон 1994/95 играе в Израел, където играе за Макаби Хайфа в квалификациите за Шампионската лига, но клубът не се класира. През 1995 г. се завръща в Украйна, за да играе за ЦСКА Борисфен, където приключва кариерата си.
