Ред на Тейлър: Разлика между версии
Нова страница: [[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са не... |
м оправени формули |
||
Ред 35: | Ред 35: | ||
* [[Експоненциална функция]] and [[натурален логаритъм]]: |
* [[Експоненциална функция]] and [[натурален логаритъм]]: |
||
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\ |
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad |
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
* [[Геометрична прогресия]]: |
* [[Геометрична прогресия]]: |
||
:<math>\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad |
:<math>\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
* [[Нютонов бином]]: |
* [[Нютонов бином]]: |
||
:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infin} {\alpha \choose n} x^n\quad\ |
:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infin} {\alpha \choose n} x^n\quad,\forall \left| x \right| < 1\quad,\forall \alpha\in C</math> |
||
* [[Тригонометрична функция|Тригонометрични функции]]: |
* [[Тригонометрична функция|Тригонометрични функции]]: |
||
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\ |
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\ |
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. |
:<math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. |
||
,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math> |
|||
::където ''B'' са [[Якоб Бернули#Други|числа на Бернули]]. |
::където ''B'' са [[Якоб Бернули#Други|числа на Бернули]]. |
||
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad |
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad, \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math> |
||
::където ''E'' са [[числа на Ойлер]] |
::където ''E'' са [[числа на Ойлер]] |
||
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad |
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
:<math>\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad |
:<math>\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| \leq 1</math> |
||
* [[Хиперболична функция|Хиперболични функции]]: |
* [[Хиперболична функция|Хиперболични функции]]: |
||
:<math>\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\ |
:<math>\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\ |
:<math>\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\tanh\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad |
:<math>\tanh\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \left|x\right| < \frac{\pi}{2}</math> |
||
:<math>\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad |
:<math>\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
:<math>\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad |
:<math>\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
==Изчисляване== |
==Изчисляване== |
Версия от 08:50, 24 декември 2006
Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представямето и като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностие на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите когато a = 0, редът също се нарича ред на Маклорен, по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знае нейната стойност и стойностите на всичките и производни в дадена точка.
На графиката в дясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sinx. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Tейлър се използва широко в приложната математика и математическият анализ. Някои от употребите му са:
- Директно получаване на приблизителна стойност на функция
- Доказателство на теореми от математическия анализ
История
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението
През 1715 Брук Тейлър, доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Специалният случай и неговото изследване прави Колин Маклорен във втората половина на XVII век.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.