Ред на Тейлър: Разлика между версии
м Robot: en:Taylor series is a good article |
м tan -> tg |
||
Ред 53: | Ред 53: | ||
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\ |
:<math>\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. |
||
,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math> |
,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math> |
||
Ред 64: | Ред 64: | ||
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
:<math>\ |
:<math>\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| \leq 1</math> |
||
Ред 73: | Ред 73: | ||
:<math>\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
:<math>\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\ |
:<math>\operatorname{tgh}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \left|x\right| < \frac{\pi}{2}</math> |
||
:<math>\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
:<math>\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
:<math>\mathrm{ |
:<math>\mathrm{arctgh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
==Изчисляване== |
==Изчисляване== |
Версия от 18:54, 17 април 2012
Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето й като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките й производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:
- Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
- Доказателство на теореми от математическия анализ.
История
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.