Градиент

Тази статия е за математическото понятие. За градиент в химията вижте йонен градиент.

---

Градиентът на функцията $f(x,y)=-(cos^{2}(x)+cos^{2}(y))^{2}$ изобразен като векторно поле, проектирано върху долната равнина. Червените стрелки показват посоката на нарастване на функцията.

Градиèнт във векторния анализ е векторен оператор, действащ върху скаларно поле. Градиентът на скаларно поле е векторно поле, наречено градиентно поле, което показва величината и посоката на промяна на скаларното поле и по стойност (модул) е равен на темпа на промяната му в тази посока.

Градиентът се означава с grad или набла $\nabla$ и в триизмерна правоъгълна координатна система $(x,y,z)$ се дефинира като:

$\operatorname {grad} \,f(x,y,z)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}$

където $f$ е скаларна, непрекъсната и диференцируема функция и ${\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}$ са единични вектори. Резултатът от операцията градиент е вектор или множество от вектори или векторна функция в зависимост от областта, в която е дефинирана функцията $f$. Градиентът се прилага само върху скаларни величини, представлява мярка за максималната промяна на величината и има посока на най-стръмното покачване на величината в дадена точка.

От определението се вижда, че градиентът е производната по отношение на пространството, но за разлика от производната по отношение на едномерното време, градиентът не е скаларна, а векторна величина. Пространството, върху което са дефинирани функцията и нейният градиент, може, най-общо казано, да бъде или обикновено триизмерно пространство, или пространство с всяко друго измерение от каквато и да е физическа природа, или чисто абстрактно (безразмерно) пространство.

Градиент на двумерната функция $f(x,y)=x.exp(x^{2}+y^{2})$, изобразен със сини стрелки.

Етимология

Думата „градиент“ произхожда от латинските думи gradiens (постепенно нарастване) и gradientis („постепенно нарастващ“), затова при буквалния превод постепенното намаляване се нарича antigradiens (антиградиент).

Във векторния анализ „градиент“ означава изменение и в двете посоки, като при нарастване величината е с положителен, а при намаляване – с отрицателен знак, определен от знака на първата производна.

Общи сведения

Терминът се появява за първи път в метеорологията и е въведен в математиката от Джеймс Максуел през 1873 г.; означението $\mathrm {grad}$ също е предложено от Максуел.

Пример: Нека температурата в помещение се задава с помощта на скаларното поле T по такъв начин, че във всяка точка, дадена с координати (x, y, z), температурата е T(x, y, z) (приема се, че температурата не се променя във времето). Във всяка точка в помещението градиентът на функцията Т ще сочи в посоката, в която температурата се повишава най-бързо. Големината на градиента определя колко бързо се повишава температурата в дадена посока.

Операцията градиент преобразува хълма (в ляво), гледан отгоре, във векторно поле (в дясно). Вижда се, че векторите са насочени към проекцията на върха върху равнината и колкото са по-дълги, толкова по-стръмен е наклонът.

Например, ако височината на земната повърхност над морското равнище се вземе като скаларна функция $f$, тогава нейният градиент във всяка точка от повърхността ще покаже „посоката на най-стръмното изкачване“ и неговата стойност ще характеризира стръмността на наклона.

От математическа гледна точка градиентът може да се разглежда като:

1. Коефициент на линейна зависимост на промяната в стойността на функция на много променливи от промяната в стойността на аргумента;
2. Вектор в пространството на областта на скаларна функция на много променливи, съставена от частни производни;
3. Редовете на матрицата на Якоби съдържат градиенти на съставни скаларни функции, които образуват векторна функция на много променливи.

Ако $f$ е функция от $n$ променливи $x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}$, тогава неин градиент е $n$-мерният вектор $\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),$ чиито компоненти са равни на частните производни на $f$ по отношение на всички нейни аргументи. Така размерността на градиентния вектор се определя от размерността на пространството (или многообразието), върху което е дадено скаларното поле.

Смисълът на градиента на всяка скаларна функция $f$ е, че нейното скаларно произведение с безкрайно малък вектор на преместване $d\mathbf {x}$ дава общия диференциал на тази функция със съответната промяна в координатите в пространството, в което е дефинирана $f$, тоест линейната (в общия случай тя е и главната) част от изменението на $f$ когато аргументът $x$ се измени с $d\mathbf {x}$. Използвайки една и съща буква за означаване на функция на вектор и съответната функция на неговите координати, може да се напише:

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).$

Тук следва да се отбележи, че тъй като формулата за общия диференциал не зависи от вида на координатите $x_{i}$, тоест от естеството на параметрите $x$ като цяло, полученият диференциал е инвариант, т.е. скалар, при всякакви координатни преобразования, и тъй като $d\mathbf {x}$ е вектор, тогава градиентът, изчислен по обичайния начин, се оказва ковариантен вектор, тоест вектор, представен в двоен базис, който само скалар може да даде чрез просто сумиране на произведенията от координатите на обичайния контравариантен вектор, тоест вектор, записан в обичайния базис. По този начин най-общо за произволни криволинейни координати изразът може да бъде записан съвсем правилно и инвариантно като:

$df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx_{i}$

или, пропускайки знака за сумата според правилото на Айнщайн,

$df=(\partial _{i}f)\,dx_{i}$.

Градиентът се оказва истински ковариантен вектор във всякакви криволинейни координати.

Използвайки интегралната теорема

$\iiint \limits _{V}\nabla f\,dV=\iint \limits _{S}fd\mathbf {s}$,

градиентът може да бъде изразен в интегрална форма:

$\nabla f=\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}f\,d\mathbf {s} \right),$

тук ${\it {S}}$ е затворена повърхност, обхващаща обема ${\it {{V};d\mathbf {s} }}$ е нормален елемент към тази повърхност.

Например, градиентът на функцията $f(x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-5\sin z$ е

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}},\;{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-5\cos z).$

Геометричен смисъл

Разглежда се семейството от линии на ниво на функцията $f$:

$\gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h\}.$

Лесно е да се покаже, че градиентът на функцията $f$ в точката ${\vec {x}}{\,}^{0}$ е перпендикулярен на нейната линия на ниво, минаваща през тази точка. Модулът на градиента показва максималната скорост на промяна на функцията в близост до ${\vec {x}}{\,}^{0}$, тоест честотата на линиите на нивото. Например линиите на надморската височина се показват на топографски карти, като градиентният модул показва стръмността на спускането или изкачването в дадена точка.

Връзка с производна по посока

Използвайки правилото за диференциране на сложна функция, е лесно да се покаже, че производната на функцията $f$ в посока ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ е равна на скаларното произведение на градиента $f$ и единичния вектор ${\vec {e}}$:

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla f,\;{\vec {e}}).$

По този начин, за да се изчисли производната на скаларна функция на векторен аргумент във всяка посока, е достатъчно да се знае градиентът на функцията, тоест векторът, чиито компоненти са неговите частични производни.

Градиент в ортогонални криволинейни координати

Общата формула за градиент в ортогонални криволинейни координати $(q_{1},q_{2},q_{3})$ е

$\operatorname {grad} \,f(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},$

където $H_{i}$ са коефициенти на Ламе, а ${\vec {e}}_{i}$ са единични вектори.

Полярни координати в равнина

Коефициентите на Ламе са $H_{1}=1$ и $H_{2}=r,$ откъдето:

$\operatorname {grad} \,f(r,\;\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.$

Цилиндрични координати

Коефициентите на Ламе имат стойности $H_{1}=1$ , $H_{2}=r$ и $H_{3}=1$ , откъдето:

$\operatorname {grad} \,f(r,\;\varphi ,\;z)={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.$

Сферични координати

Коефициентите на Ламе са $H_{1}=1$ , $H_{2}=r$ и $H_{3}=r\sin {\theta }$ , откъдето:

$\operatorname {grad} \,f(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.$

Изчисление на градиент

Правила за изчисление

За всички константи $c\in \mathbb {R}$ и скаларни полета $u,\,v\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ се прилагат следните правила:

1. Диференциране на константа: $\operatorname {grad} c={\vec {0}}$

2. Линейност:

$\operatorname {grad} (c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} u$

$\operatorname {grad} (u+v)=\operatorname {grad} u+\operatorname {grad} v$

3. Правило за произведението

$\operatorname {grad} (u\,v)=u\operatorname {grad} v+v\operatorname {grad} u$

4. Верижно правило

$\operatorname {grad} {\big (}u(v){\big )}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}\ \operatorname {grad} v$

$\operatorname {grad} (u^{n})=nu^{n-1}\ \operatorname {grad} u,\quad n\in \mathbb {R} ,\neq 0$

Вижте също #Полезни формули.

5. Интегрални теореми

$\int _{\vec {a}}^{\vec {b}}\mathrm {grad} {\big (}u({\vec {r}}){\big )}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=u({\vec {b}})-u({\vec {a}})$

Тук „·“ е скаларно произведение и пътят от ${\vec {a}}$ до ${\vec {b}}$ е произволен. Тази независимост на пътя характеризира градиентните полета, вижте също #Консервативни сили.

$\int _{V}\mathrm {grad} (u)\,\mathrm {d} V=\int _{S}u{\hat {n}}\,\mathrm {d} S$

$\int _{S}{\hat {n}}\times \mathrm {grad} (u)\,\mathrm {d} S=\int _{Q}u\,\mathrm {d} {\vec {r}}$

Тук „×“ е векторно произведение, $u$ е двумерно непрекъснато диференцируемо поле и ${\hat {n}}$ е външният нормален единичен вектор върху затворената повърхност $S$ на обема $V$ и $Q$ е частично гладка затворена гранична крива на повърхността $S$. Безкоординатното представяне като производна на обем следва от първия интеграл на обема, ако обемът стане толкова малък, че градиентът в него е приблизително постоянен.

Полезни формули

Следните градиенти са често срещани във физиката. Използва се радиус-векторът ${\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}$.

$\operatorname {grad} r={\hat {e}}_{r}={\frac {\vec {r}}{r}}$

$\operatorname {grad} U(r)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}$

$\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{r^{2}}}\,\operatorname {grad} r=-{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=-{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}$

$\operatorname {grad} {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|}}=-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{2}}}\,\operatorname {grad} |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|=-{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{3}}}$

В последния пример градиентът действа само върху ${\vec {r}}$, а не върху ${\vec {r}}^{\prime }$ и следователно също се записва като $\nabla _{\vec {r}}$.

Консервативни сили

Във физиката много силови полета могат да бъдат представени като градиент на потенциал. Примери за това са:

• гравитационна сила

${\vec {F}}_{\mathrm {Gravit.} }(x,y,z)=-m\operatorname {grad} \Phi (x,y,z)\ ,$

или с отчитане на централната маса M, разположена в началото на координатите:

${\vec {F}}_{\mathrm {Gravit.} }(r)=-m\operatorname {grad} \Phi (r)=\operatorname {grad} {\frac {GMm}{r}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\,{\vec {r}}$

• статични електрически полета ${\vec {E}}$ в електродинамиката

${\vec {E}}(x,y,z)=-\operatorname {grad} \Phi (x,y,z)\ .$

В консервативните силови полета извършената работа от пробните маси или пробните заряди се определя от интеграла по пътя им $L$ през полето ${\textstyle W=\int _{L}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ и зависи само от началната и крайната точка на пътя, но не и от курса му, виж #Правила за изчисление, интегрални теореми.

Градиент в други науки

Във физиката

В различни клонове на физиката се използва понятието градиент на различни физически полета.

Например интензитетът на електростатичното поле е минус градиента на електричния потенциал, интензитетът на гравитационното поле (ускорението на свободното падане) в класическата теория на гравитацията е минус градиента на гравитационния потенциал. Консервативната сила в класическата механика е минус градиента на потенциалната енергия.

В природните науки

Концепцията за градиент се използва не само във физиката, но и в сродни и дори относително далечни от физиката науки (понякога това приложение е количествено, а понякога само качествено).

Например, градиент на концентрацията е увеличаване или намаляване на концентрацията на разтворено вещество във всяка посока, градиент на влажността е повишаване или намаляване на [[влажност]та на средата в някаква посока и т.н.

Градиентът на такива стойности може да бъде причинен от различни причини, например механично препятствие, действието на електромагнитни, гравитационни или други полета или разлика в силата на разтваряне на съседните фази.

В метеорологията

В метеорологията се използват понятията барометричен и температурен (термометричен) градиент.

Барометричният градиент (БГ) е разликата в показанията на барометрите (приведени до морското равнище) на две места, разположени в посоката, в която в момента еластичността на въздуха намалява най-бързо, т.е. в посоката, перпендикулярна на изобарите или линиите на равни налягания, на разстояние от един меридианен градус (111 km). Колкото по-високо е барометричното налягане в даден район, толкова повече се нарушава въздушният баланс и толкова по-силен трябва да е вятърът. Стефенсон първо обръща внимание на това и законът, изразяващ връзката между БГ и силата на вятъра, се нарича закон на Стефенсон. При БГ 1,78 мм вече може да се очакват силни ветрове. Силата на вятъра обаче зависи и от други фактори, сред които най-важни са неравностите на земната повърхност, температурата и влажността на въздуха: при еднакъв БГ морският вятър е по-силен от континенталния, а топлите и влажните ветрове са по-силни от студените и сухите. Най-големите градиенти се срещат в циклоните, особено тропическите, където достигат 10 или дори повече mm на 111 km. Барометричният градиент показва степента на неравномерност в разпределението на атмосферното налягане в хоризонтално направление. Той се определя с помощта на внимателно съставени метеорологични или синоптични карти, като разликата във височините на барометрите, съответстващи на две съседни изобари, се раздели на разстоянието между тях, изразено в градуси от меридиана (111 km ≡ 1°). Начини за по-точното му определяне са дадени в специализираната литература.

Температурният градиент (ТГ) определя степента на неравномерност в разпределението на температурата. Това е разликата в температурите на две места, разположени на разстояние между тях, равно на 1 градус от меридиана (111 km) в посока, перпендикулярна на изотермите (линиите с еднаква температура). Стойността на ТГ в Европа понякога достига 4 или дори повече градуса по Целзий при постъпателното движение на циклоните и антициклоните.

В икономиката

В икономическата теория понятието градиент се използва за обосноваване на определени заключения. По-специално, методът на множителите на Лагранж и условията на Каруш–Кун–Такър (заимствани от естествените науки), използвани за намиране на оптимума на потребителя, се основават на сравняване на градиентите на функцията на полезност и функцията на бюджетното ограничение.

Вижте също

• Что такое градиент в
• Векторен анализ
• Векторно поле
• Формули на векторния анализ
• Оператор набла
• Частна производна
• Диференциал
• 4-градиент
• Градиент на концентрацията
• Градиентни методи
• Дивергенция
• Ротация

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. – Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

Външни препратки

• Броунов П. И. – Градиент // Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона, в 86 томах (82 т. и 4 доп.) с иллюстрациями и дополнительными материалами) — СПб., 1890—1907.