Ред на Тейлър: Разлика между версии
м Грешки в статичния код: Неправилно вложен таг с различно визуализиране в HTML5 и HTML4 |
м Bot: Automated text replacement (-( +(); козметични промени |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[ |
[[Файл:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <span style="color:#333333"><math>\sin x</math></span> и развития по Тейлър от степен <span style="color:red">1</span>, <span style="color:orange">3</span>, <span style="color:yellow">5</span>, <span style="color:green">7</span>, <span style="color:blue">9</span>, <span style="color:indigo">11</span> и <span style="color:violet">13</span>.]] |
||
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето ѝ като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето ѝ като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
||
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' |
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]] |
||
:<math> |
:<math> |
||
Ред 17: | Ред 17: | ||
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на |
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на |
||
:<math>\sin\left( |
:<math>\sin\left(x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math> |
||
Редът на Тейлър се използва широко в [[приложна математика|приложната математика]] и [[математически анализ|математическия анализ]]. Някои от приложенията му са: |
Редът на Тейлър се използва широко в [[приложна математика|приложната математика]] и [[математически анализ|математическия анализ]]. Някои от приложенията му са: |
Версия от 09:25, 7 октомври 2018
Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:
- Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
- Доказателство на теореми от математическия анализ.
История
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.