Пи: Разлика между версии
Редакция без резюме |
Етикет: Отменени |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{източници}} |
{{обработка|източници}} |
||
{{друго значение|трансцендентното число|буквата от гръцката азбука|Пи (буква)}} |
{{друго значение|трансцендентното число|буквата от гръцката азбука|Пи (буква)}} |
||
[[Файл:Pi-unrolled-720.gif|мини|360px|Анимация за връзката между дължината на окръжността и '''пи''']] |
[[Файл:Pi-unrolled-720.gif|мини|360px|Анимация за връзката между дължината на окръжността и '''пи''']] |
||
Ред 6: | Ред 6: | ||
== Числова стойност == |
== Числова стойност == |
||
[[Файл:Pi Karlsplatz Pi.JPG|мини|580px|'''Пи''' |
[[Файл:Pi Karlsplatz Pi.JPG|мини|580px|'''Пи''' – Карлсплац, [[Виена]]]] |
||
В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] π може да бъде дефинирано както като [[отношение]] между дължината и [[диаметър]]а на една окръжност, така и като отношение на [[Площ|лицето]] на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия [[радиус]]. Във висшата математика π се дефинира [[математически анализ|аналитично]] чрез използване на [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]], например като най-малкото положително ''x'', за което sin''x'' = 0, или като удвоеното най-малко положително ''x'', за което cos''x'' = 0 (удвоеното най-малко положително ''x'', за което sin''x'' = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни. |
В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] π може да бъде дефинирано както като [[отношение]] между дължината и [[диаметър]]а на една окръжност, така и като отношение на [[Площ|лицето]] на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия [[радиус]]. Във висшата математика π се дефинира [[математически анализ|аналитично]] чрез използване на [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]], например като най-малкото положително ''x'', за което sin''x'' = 0, или като удвоеното най-малко положително ''x'', за което cos''x'' = 0 (удвоеното най-малко положително ''x'', за което sin''x'' = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни. |
||
Ред 94: | Ред 94: | ||
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = |
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = |
||
\frac{\pi}{2}</math> |
\frac{\pi}{2}</math> |
||
* Алгоритъм на Бейли |
* Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ официална страница на Бейли] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030501201647/http://www.nersc.gov/~dhbailey/ |date=2003-05-01 }}) |
||
*: <math>\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]</math> |
*: <math>\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]</math> |
||
* [[Гаусов интеграл]]: |
* [[Гаусов интеграл]]: |
||
Ред 127: | Ред 127: | ||
* Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно [[квадратни числа|квадратно число]] е 6/π<sup>2</sup>. |
* Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно [[квадратни числа|квадратно число]] е 6/π<sup>2</sup>. |
||
* Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4. |
* Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4. |
||
* [[Произведение (математика)|Произведението]] от (1 |
* [[Произведение (математика)|Произведението]] от (1 – 1/p<sup>2</sup>) за прости ''p'', е 6/π<sup>2</sup>. |
||
*: <math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2}</math> |
*: <math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2}</math> |
||
Ред 141: | Ред 141: | ||
[[Категория:Математически константи]] |
[[Категория:Математически константи]] |
||
[[Категория:Трансцендентни числа]] |
[[Категория:Трансцендентни числа]] |
||
{{Клас B}} |
Версия от 11:12, 19 май 2021
Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: източници. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
- Тази статия е за трансцендентното число. За буквата от гръцката азбука вижте Пи (буква).
π (произнася се пи) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).
Числова стойност
В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0 (удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.
Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.
Числовата стойност на π, закръглена до 100-тния знак след десетичната запетая, е 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер.
На 31 декември 2009 г. френският програмист Фабрис Белар достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и операционна система 64-битова версия на Red Hat Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.
Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).
Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:
Как е леко и лесно запомнено π, всички знаят, щом желаят! 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6
Вариант на английски, с точност до седмия знак е:
May I have a large container of coffee? 3, 1 4 1 5 9 2 6
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.
Особености
π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).
Формули, касаещи π
Геометрия
е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.
Геометрична форма | Формула |
---|---|
Дължина на окръжност с радиус r и диаметър d | |
Лице на кръг с радиус r | |
Лице на елипса с полуоси a и b | |
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d | |
Повърхнина на сфера с радиус r | |
Обем на цилиндър с височина h и радиус на основата r | , |
Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата r | |
Обем на конус с височина h и радиус на основата r | |
Повърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r |
(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като .)
Също така ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.
Анализ
Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и т.нар. специални математически функции.
- Формула на Виет, 1593 (доказателство):
- Формула на Лайбниц (доказателство):
- Представяне на Уолис (доказателство):
- Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли Архив на оригинала от 2003-05-01 в Wayback Machine.)
- Гаусов интеграл:
- Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Дзета-функция на Риман):
- и в заключение, е рационално кратно на за цяло положително n.
- Гама-функция, изчислена при стойност на аргумента 1/2:
- Приближение на Стирлинг:
- Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):
- Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):
- Лице на 1/4 от единичния кръг:
- Следствие на теоремата за резидуумите
- където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.
Безкрайни дроби
π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известният от които е:
(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)
Теория на числата
Някои изводи от теорията на числата:
- Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π2.
- Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π2.
- Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4.
- Произведението от (1 – 1/p2) за прости p, е 6/π2.
Вижте също
Външни препратки
- Пи, изчислено до 1 милион знака (от проекта Гутенберг)
- Пи, изчислено до почти 2,7 трилиона знака
|