Пи: Разлика между версии
м Бот: премахнат вандализъм на Специални:Приноси/217.145.83.222 |
м интервал; козметични промени |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{обработка|източници}} |
{{обработка|източници}} |
||
{{друго значение|трансцендентното число|буквата от гръцката азбука|Пи (буква)}} |
{{друго значение|трансцендентното число|буквата от гръцката азбука|Пи (буква)}} |
||
[[ |
[[Файл:Pi-unrolled-720.gif|мини|360px|Анимация за връзката между дължината на окръжността и '''пи''']] |
||
''' |
'''π''' (произнася се '''пи''') е [[Математически константи|математическа константа]], която представлява [[отношение]]то между дължината на дадена [[окръжност]] и нейния [[диаметър]] и обикновено се използва в [[математика]]та, [[физика]]та и [[техника]]та. Името на [[гръцка азбука|гръцката буква π]] се произнася '''„пи“'''. π е познато още като '''[[Лудолф фон Цойлен|Лудолфово]] число''' и като '''[[Архимед]]ова константа''' (да не се бърка с [[Архимедово число|Архимедовото число]]). |
||
== Числова стойност == |
== Числова стойност == |
||
[[ |
[[Файл:Pi Karlsplatz Pi.JPG|мини|580px|'''Пи''' – Карлсплац, [[Виена]]]] |
||
В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] |
В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] π може да бъде дефинирано както като [[отношение]] между дължината и [[диаметър]]а на една окръжност, така и като отношение на [[Площ|лицето]] на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия [[радиус]]. Във висшата математика π се дефинира [[математически анализ|аналитично]] чрез използване на [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]], например като най-малкото положително ''x'', за което sin''x'' = 0, или като удвоеното най-малко положително ''x'', за което cos''x'' = 0 (удвоеното най-малко положително ''x'', за което sin''x'' = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни. |
||
Числото |
Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра. |
||
Числовата стойност на |
Числовата стойност на π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е |
||
:'''''3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679''''' |
:'''''3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679''''' |
||
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със [[суперкомпютър|суперкомпютри]], определили повече от 1 трилион цифри на |
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със [[суперкомпютър|суперкомпютри]], определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен [[персонален компютър]] може да изчисли трилиони цифри с [[софтуер за изчисляване на числото Пи|наличния софтуер]]. |
||
На [[31 декември]] [[2009]] г. френският програмист [[Фабрис Белар]] достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и [[операционна система]] 64-битова версия на [[Red Hat Linux|Red Hat]] Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0. |
На [[31 декември]] [[2009]] г. френският програмист [[Фабрис Белар]] достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и [[операционна система]] 64-битова версия на [[Red Hat Linux|Red Hat]] Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0. |
||
Приблизителни стойности на |
Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според [[Архимед]]) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици). |
||
Съществуват различни [[Мнемоника|мнемотехнически]] начини за лесно запомняне на |
Съществуват различни [[Мнемоника|мнемотехнически]] начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви: |
||
Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят! |
Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят! |
||
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6 |
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6 |
||
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на |
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания. |
||
== Особености == |
== Особености == |
||
[[ |
[[Файл:Pi-CM.svg|мини|]] |
||
π е [[ирационално число]], т.е. то не може да бъде представено като отношение на две [[цели числа]]. Това е доказано през [[1761]] от [[Йохан Хайнрих Ламберт]]. |
|||
π е също [[трансцендентно число]] (доказано през [[1882]] от [[Фердинанд фон Линдеман]]). Това означава, че няма [[полином]] с [[рационално число|рационални]] коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е [[построимо число]]. От изискването [[координата|координатите]] на всички точки, които могат да се [[построение с линия и пергел|построят с линия и пергел]], да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за [[квадратура на кръга|квадратурата на кръга]] (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг). |
|||
== Формули, касаещи |
== Формули, касаещи π == |
||
=== Геометрия === |
=== Геометрия === |
||
<math>\pi</math> е част от много формули в [[геометрия]]та, отнасящи се до [[окръжност]]и и [[Сфера|сфери]]. |
<math>\pi</math> е част от много формули в [[геометрия]]та, отнасящи се до [[окръжност]]и и [[Сфера|сфери]]. |
||
Ред 73: | Ред 73: | ||
(Всички формули са следствие от първата, ако лицето ''S'' на кръга бъде представено като <math>S = \int 2 \pi r dr</math>.) |
(Всички формули са следствие от първата, ако лицето ''S'' на кръга бъде представено като <math>S = \int 2 \pi r dr</math>.) |
||
Също така [[ъгъл]] от 180° ([[ |
Също така [[ъгъл]] от 180° ([[Градус (ъгъл)|градуса]]) е равен на π [[радиан]]а. |
||
=== Анализ === |
=== Анализ === |
||
Много от формулите в [[Математически анализ|анализа]] съдържат |
Много от формулите в [[Математически анализ|анализа]] съдържат π, включително представянето на [[безкрайни редове]], [[интеграл]]ите и т.нар. [[специални математически функции]]. |
||
*Формула на [[Франсоа Виет|Виет]], [[1593]] ([[Формула на Виет за пи|доказателство]]): |
* Формула на [[Франсоа Виет|Виет]], [[1593]] ([[Формула на Виет за пи|доказателство]]): |
||
*:<math>\frac{2}{\pi}= |
*: <math>\frac{2}{\pi}= |
||
\frac{\sqrt2}{2} \cdot |
\frac{\sqrt2}{2} \cdot |
||
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \cdot |
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \cdot |
||
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\ldots</math> |
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\ldots</math> |
||
*Формула на [[Готфрид Вилхелм Лайбниц|Лайбниц]] ([[Формула на Лайбниц за пи|доказателство]]): |
* Формула на [[Готфрид Вилхелм Лайбниц|Лайбниц]] ([[Формула на Лайбниц за пи|доказателство]]): |
||
*:<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = |
*: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = |
||
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = |
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = |
||
\frac{\pi}{4}</math> |
\frac{\pi}{4}</math> |
||
*Представяне на [[Джон Уолис|Уолис]] ([[Представяне на Уолис|доказателство]]): |
* Представяне на [[Джон Уолис|Уолис]] ([[Представяне на Уолис|доказателство]]): |
||
*:<math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = |
*: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = |
||
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = |
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = |
||
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = |
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = |
||
\frac{\pi}{2} </math> |
\frac{\pi}{2} </math> |
||
*Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ официална страница на Бейли]) |
* Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ официална страница на Бейли]) |
||
*:<math>\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]</math> |
*: <math>\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]</math> |
||
*[[Гаусов интеграл]]: |
* [[Гаусов интеграл]]: |
||
*:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> |
*: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> |
||
*[[Задача на Базел]], решена от [[Леонард Ойлер|Ойлер]] (вж. също [[Дзета-функция на Риман]]): |
* [[Задача на Базел]], решена от [[Леонард Ойлер|Ойлер]] (вж. също [[Дзета-функция на Риман]]): |
||
*:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> |
*: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> |
||
*:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math> |
*: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math> |
||
*:и в заключение, <math>\zeta(2n)</math> е рационално кратно на <math>\pi^{2n}</math> за цяло положително ''n''. |
*: и в заключение, <math>\zeta(2n)</math> е рационално кратно на <math>\pi^{2n}</math> за цяло положително ''n''. |
||
*[[Гама-функция]], изчислена при стойност на аргумента 1/2: |
* [[Гама-функция]], изчислена при стойност на аргумента 1/2: |
||
*:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math> |
*: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math> |
||
*[[Приближение на Стирлинг]]: |
* [[Приближение на Стирлинг]]: |
||
*:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> |
*: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> |
||
*[[Равенство на Ойлер]] (наречено от [[Ричард Файнман]] „най-забележителната формула в математиката“): |
* [[Равенство на Ойлер]] (наречено от [[Ричард Файнман]] „най-забележителната формула в математиката“): |
||
*:<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math> |
*: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math> |
||
*Следствие от [[Ойлерова сума|Ойлеровата сума]] (вж. също [[анализ на Фурие]]): |
* Следствие от [[Ойлерова сума|Ойлеровата сума]] (вж. също [[анализ на Фурие]]): |
||
*:<math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math> |
*: <math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math> |
||
*Лице на 1/4 от единичния кръг: |
* Лице на 1/4 от единичния кръг: |
||
*:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math> |
*: <math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math> |
||
*Следствие на [[Теорема за резидуумите|теоремата за резидуумите]] |
* Следствие на [[Теорема за резидуумите|теоремата за резидуумите]] |
||
*:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i,</math> |
*: <math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i,</math> |
||
*:където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка. |
*: където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка. |
||
=== Безкрайни дроби === |
=== Безкрайни дроби === |
||
π може да се представи с помощта на [[верижни дроби]] по много начини, най-известният от които е: |
|||
:<math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math> |
:<math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math> |
||
Ред 122: | Ред 122: | ||
=== Теория на числата === |
=== Теория на числата === |
||
Някои изводи от [[теория на числата|теорията на числата]]: |
Някои изводи от [[теория на числата|теорията на числата]]: |
||
*[[Вероятност]]та две произволни цели числа да са [[взаимно прости числа|взаимно прости]] е 6/ |
* [[Вероятност]]та две произволни цели числа да са [[взаимно прости числа|взаимно прости]] е 6/π<sup>2</sup>. |
||
*Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно [[квадратни числа|квадратно число]] е 6/ |
* Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно [[квадратни числа|квадратно число]] е 6/π<sup>2</sup>. |
||
*Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е |
* Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4. |
||
*[[Произведение (математика)| |
* [[Произведение (математика)|Произведението]] от (1 – 1/p<sup>2</sup>) за прости ''p'', е 6/π<sup>2</sup>. |
||
*:<math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2} </math> |
*: <math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2} </math> |
||
== Вижте още == |
== Вижте още == |
||
Ред 136: | Ред 136: | ||
{{нормативен контрол}} |
{{нормативен контрол}} |
||
[[Категория:Математически константи]] |
[[Категория:Математически константи]] |
||
[[Категория:Трансцендентни числа]] |
[[Категория:Трансцендентни числа]] |
Версия от 14:13, 15 ноември 2018
Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: източници. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
- Тази статия е за трансцендентното число. За буквата от гръцката азбука вижте Пи (буква).
π (произнася се пи) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).
Числова стойност
В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0 (удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.
Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.
Числовата стойност на π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е
- 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер.
На 31 декември 2009 г. френският програмист Фабрис Белар достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и операционна система 64-битова версия на Red Hat Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.
Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).
Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:
Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят! 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.
Особености
π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).
Формули, касаещи π
Геометрия
е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.
Геометрична форма | Формула |
---|---|
Дължина на окръжност с радиус r и диаметър d | |
Лице на кръг с радиус r | |
Лице на елипса с полуоси a и b | |
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d | |
Повърхнина на сфера с радиус r | |
Обем на цилиндър с височина h и радиус на основата r | , |
Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата r | |
Обем на конус с височина h и радиус на основата r | |
Повърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r |
(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като .)
Също така ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.
Анализ
Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и т.нар. специални математически функции.
- Формула на Виет, 1593 (доказателство):
- Формула на Лайбниц (доказателство):
- Представяне на Уолис (доказателство):
- Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли)
- Гаусов интеграл:
- Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Дзета-функция на Риман):
- и в заключение, е рационално кратно на за цяло положително n.
- Гама-функция, изчислена при стойност на аргумента 1/2:
- Приближение на Стирлинг:
- Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):
- Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):
- Лице на 1/4 от единичния кръг:
- Следствие на теоремата за резидуумите
- където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.
Безкрайни дроби
π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известният от които е:
(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)
Теория на числата
Някои изводи от теорията на числата:
- Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π2.
- Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π2.
- Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4.
- Произведението от (1 – 1/p2) за прости p, е 6/π2.
Вижте още
Външни препратки
- Пи, изчислено до 1 милион знака (от проекта Гутенберг)
- Пи, изчислено до почти 2,7 трилиона знака
|